七数培优竞赛讲座第16讲 不等式(组)的应用

第十六讲 不等式（组）的应用

在客观世界中，相等的关系是相对的、局部的，不等的关系是绝对的、普遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式(组)，运用不等式(组)的相关知识予以求解．

不等式(组)的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小；求代数式的取值范围；求代数式的最值，列不等式(组)解应用题．

列不等式(组)解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是： 1．弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； 2．找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； 3．列出不等式(组)；

4．解这个不等式(组)，求出解集并作答． 例题

【例1】 给出四个自然数a，b、c、d，其中每三个数之和分别是180、197、208、 222，则a，b、c、d中最大的数是 ． (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 较繁的一般解法是解关于a，b、c、d的四元一次方程组．由题意知a，b、c、d互不相等，不妨设a

【例2】 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条

a?b元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，2原因是( )．

A．a>b B．a

思路点拨 把买卖的钱数作差比较，推导出a与b的关系． 注： 学习不等式 (1)基本≠简单

许多人非常不重视基本的东西，甚至轻视它，“基本”应该等于“重要”加上“简单”． (2)懂≠会≠对

“懂”有时只是浮面的，只是形式上的了解，还必须经过组织与整理，融会贯通，并从问题的演练中．不断地发现自己不会的地方，才可以逐渐达到“真会”的地步．

在解一些涉及到多个变元的数学问题时，题设条件并没有给出变元的大小顺序，若给它们假设一个大小顺序，并不影响命题的成立，则给问题的解决增加了一个可供使用的条件，从而降低问题的难度，这种方法叫排序法．

【例3】已知a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数a1的最大值． (北京市竞赛题)

思路点拨 设a1?a2?a3?a4?a5?a6?a7则a1+a2+a3+…+a7=159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含a1o的不等式，这里要用到整数的如下性质：设a、b为整数，若a

【例4】现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．

(1)设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x之间的关系式：

(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案?

(3)在上述方案中，哪个方案运费最省?最少运费为多少元? (广州市中考题)

思路点拨 (2)解关于x的不等式组，由正整数x的值确定安排车厢的不同方案．

【例5】 某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分、2分、5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币要多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．

(河北省竞赛题)

思路点拨 引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．

注： 从近年中考应用题中可以看出，应用题涉及我们日常生活中的经营决策、商品买卖、方案设计，最佳效益等多方面，且呈现出数量关系复杂、背景新颖的趋势．为此，我们应对社会和自然充满好奇心，贴近生活实际，关心c社会热点，加强应用数学的意识，努力用数学的思想和方法研究解决实际问题，同时在解题中侧重于与解答有关联的数量关系进行分析，不必追求那些自己一时不易弄懂的背景材料的实际意义．

解含等式、不等式组成的混合型问题的基本策略是，通过消元转化成只舍有一个未知数的不等式(组)，解不等式(组)通近求解，从而解决相关问题．

【例6】 (江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本．设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖，请解答下列问题： (1)用含x的代数式表示m；

(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数． 思路点拨 (1)m=3x十8； (2) 依题意得??3x?8?5(x?1)?01，∴5?x?6

2?3x?8?5(x?1)?3 ∵x是正整数，∴x=6，m=26．

答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读中的本数为26． 注：在一些实际问题中，往往含有：“不足”“不超过”不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决．

【例7】(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：

积分 奖金(元/人) 胜一场 3 1500 平一场 1 700 负一场 0 0 当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A队共积19分． (1)请通过计算，判断A队胜、平、负各九场?

(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A队其中一名，参赛队员所得的奖金和出场费的和为W(元)，试求W的最大值．

思路点拨 设A队胜x场，平y场，负z场，则有

??x?y?z?12?y?19?3x， 解得?

?3x?y?19?z?2x?7?19?3x?0? 由题意可知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴?2x?7?0

?x?0? 解得 3

11≤x≤6，∴ x=4，5，6． 23 ∴ A队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场；或胜6场，平1场，

负5场

(2)W=(1500+500)x+(700十500)y+ 500z=－600x十19300， 观察代数式－600x+19300，发现x越小，W越大． ∴ 当x=4时，W最大值=16900元．

注： 题中有两个明显的相等关系，可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确定未知量的取值范围．这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法．

【例8】 商业大厦购进某种商品1000件，销售价定为购进价的125％．现计划节日期间按原定销售价让利10％，售出至多100件商品，而在销售淡季按原定销售价的60％大甩卖，为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品?

思路点拨 设购进价为a元，按原定价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售(1000－x－y)件． 依题意有

125％ax+125％(1—10％)ay+125％x60％a(1000－x-y)>1000a 即4x+3y>2000， ∵ y≤100，

∴ 4x>2000—3y≥1700， 又x是整数，∴x≥425．

所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能赢利．

注：充分利用“赢利”这一不等关系，赢利即销售金颇大于成本，题目中并没有包含x、y的等量关系，但利用y≤100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求出x的取值范围．

【例9】 (江苏省竞赛试题)货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车? 思路点拨 设共需n辆汽车，它们运走的重量依次为a1，a2，…，an则 2≤ai≤3(I=1，2，…，n)，al＋a2＋…＋an=10 ∴2n≤10≤3n，解得

10?n?5． ∵ 车子数n应为整数，∴ n=4或5，但4辆车子不3够．例如有13只箱子，每只重量为10，而3×10＜3，4×10＞3，即每辆车子只能运走3

131313只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车．

学力训练

1．若方程

ax?x?1997?0只有负数根，则a的取值范围是 ． 19972．若方程组??x?y?m?2的解x、y都是正数，则m的取值范围是

?4x?5y?6m?3 (河南省中考题)

3．某化工厂2001年12月在制定2002年某种化肥的生产计划时，收集了如下信息： (1)生产该种化肥的工人数不能超过200人； (2)每个工人全年工作时数不得多于2100个； (3)预计2002年该化肥至少可售销80000袋； (4)每生产一袋该化肥需要工时4个； (5)每袋该化肥需要原料20千克；

(6)现库存原料800吨，本月还需用200吨，2002年可以补充1200吨． 根据上述数据，确定2002年该种化肥的生产袋数的范围是 ． (江苏徐州中考题) ：

22000?121999?14．设P?2000，Q?2001，则P、Q的大小关系是（ ）．

2?12?1A．P>Q B．P

5．某种出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费)，超过3千米以后．每增加1千米，加收2．4元(不足1千米按1千米计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路 程是x千米，那么x的最大值是( )．

A．11 B．3 C．7 D．5 (南京市中考题)

6．韩日“世界杯“期间．重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车( )．

A．11辆 B．10辆 C． 9辆 D．8辆 (重庆市中考题)

7．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2002年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0．56元(“峰电’’价)，22：00至次日8：00每千瓦时0．28元(“谷电”价)，而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0．53元．

(1)一居民家庭在某月使用“峰谷”电后，付电费95．2元，经测算比不使用“峰谷”电节约10．8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时?

(2)当“峰电”用量不超过每月总用电量的百分之几时，使用“谷电”合算?(精确到1％)．

(宁波市中考题)

8．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中

每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

价格(万元／台) 处理污水量(吨／月) 年消耗费(万元／台) A型 12 240 1 B型 10 200 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． (1)请你设计该企业有几种购买方案；

(2)若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；

(3)在第(2)问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，l0年节约资金多少万元?(注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) (黑龙江省中考题)

9．大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于2003，中数减小数之差等于1000，那么这三个正整数的和为 ． (北京市竞赛题)

10．已知a+b+c=0，a>b>c，则 (江苏省竞赛题) 11．适合方程

c的取值范围是 ． a11113???的正整数x的值是 ． x?1x?2x?31212． 设x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7为自然数，且x1?x2?x3??x6?x7，又

x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7?159，则x1?x2?x3的最大值是 ．

(安徽省竞赛题)

13．正五边形广场ABCDE的周长为2000m，甲、乙两人分别从A、C两点同时出发绕广场沿A→B→C→D→E→A的方向行走，甲的速度为50m／mIm，乙的速度为46m／min，则出发后经过 min，甲、乙第一次行走在同一条边上． (河北省竞赛题) 14．如果x?x?1?1，那么( )．

A．(x+1)(x一1)>0 B．(x+1)(x一1)<0 C．(x+1)(x一1)≥0 D．(x+1)(x一1)≤0 (山东省竞赛题)

15．小林拟将1，2，……，n这n个数输入电脑，求平均数．当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了(n一1)个数，平均数为35

5，假设这(n一1)个数输入无误，则漏输入的一个数7为( )．

A．10 B．53 C．56 D．67 (江苏省竞赛题)

16．已知0≤a一b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是( )． A．1≤ao≤2 B．2≤a≤3 c．

1535≤a≤ D．≤a≤ 2222 (重庆市竞赛题)

17．某果品公司急需将一批不易存放的水果从A市运到B市销售，现有三家运输公司可供