2024高考数学二轮复习专题三数列第1讲等差数列与等比数列

第1讲 等差数列与等比数列

一、选择题

1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A．100 B．99 C．98 D．97 9（a1＋a9）9×2a5

解析：由S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，

22又a10＝8，因此公差d＝答案：C

2．(2017·淮北二模)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )

21

A．－

2024C．－

10

B．－2 21D．－

5

a10－a5

10－5

＝1，所以a100＝a10＋90d＝98.

解析：由题意，设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a(a≠0)． 则

S奇a＋4a＋16a21＝＝－. S偶－2a－8a10

答案：C

3．(2017·唐山模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝－4，S6＝6，则S5＝( ) A．－1 B．0 C．－2 D．4

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S4＝－4，S6＝6， 4×3所以4a1＋d＝－4，

26×5

且6a1＋d＝6，

2解得a1＝－4，d＝2.

5×4

则S5＝5×(－4)＋×2＝0.

2答案：B

4．(2017·湖南三湘名校联明三模)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层与底层共有( )

A．3盏灯

B．192盏灯

C．195盏灯 D．200盏灯

解析：由题意设顶层的灯盏数为a1，从顶层到底层的灯的盏数构成以a1为首项，以2为公比的等比数列．

则有S7＝

a1（1－27）

1－2

6

＝381，解得a1＝3，

6

所以a7＝a1×2＝3×2＝192，所以a1＋a7＝195. 答案：C

5．(2017·衡阳八中、长郡中学等十三校二模)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，

?Sn?

a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列??的前n项和取最小值时的n?n?

为( )

(导学号 55410112)

A．3 C．4

B．3或4 D．5

??（a1＋2d）（a1＋14d）＝25，

解析：由题意知?

?a1＋4d＝5，?

由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，

Sn所以＝

nn（n－1）na1＋d2

n＝－3＋n－1＝n－4.

由n－4≥0，得n≥4.且＝0.

4

所以数列??的前n项和取最小值时的n的值为3或4.

?n??Sn?

S4

答案：B 二、填空题

132

6．(2017·河源调研)等差数列{an}中的a1，a4 033是函数f(x)＝x－4x＋6x－1的极值

3点，则log2a2 017＝________．

解析：因为f′(x)＝x－8x＋6，

依题意，a1，a4 033是方程f′(x)＝x－8x＋6＝0的两根． 所以a1＋a4 033＝8，则a2 017＝4. 所以log2a2 017＝log24＝2. 答案：2

763

7．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，

44

2

2

则a8＝________．

解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)， 1????a＝，4 则?解得?

a（1－q）63?S＝＝，?q＝2，??1－q4

1

6

1

6

a1（1－q3）7S3＝＝，

1－q4

177

所以a8＝a1q＝×2＝32.

4答案：32

8．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N，则a1

＝________，S5＝________．

解：因为an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1， 1?1?

所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3?Sn＋?，

2?2?

?1?

所以数列?Sn＋?是公比为3的等比数列，

2??

*

12

所以＝3.又S2＝4，所以S1＝1，所以a1＝1，

1S1＋

2

S2＋

1?1?324344

所以S5＋＝?S1＋?×3＝×3＝，

2?2?22所以S5＝121. 答案：1 121 三、解答题

9．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋

1

2

＝0.

(1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．

解：(1)由a1＝1，an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0， 1

令n＝1，得a2＝，

2

令n＝2，得a2－(2a3－1)a2－2a3＝0， 1则a3＝. 4

(2)由an－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)， 因为{an}的各项都为正数，所以

2

2

2

an＋11

＝. an2