习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1）
113i(3+4i)(2?5i)； （4）i8?4i21+i
； （2）?； （3）
2i3+2ii1?i
13?2i1
==(3?2i) 3+2i(3+2i)(3?2i)13
解 （1）所以
2?1??1?3
Re??=?, ?=，Im?
13?3+2i?13?3+2i?
11113?3??3?
=(3+2i)，=??+???=， 3+2i133+2i13?13??13?
?1??1?
Arg??=arg??+2kπ
32i3+2i+????
2
=?arctan+2kπ,k=0,±1,±2,\
3
13i3i(1+i)135?i（2）?=?=?i?(?3+3i)=?i,
i1?ii(?i)(1?i)(1+i)222
2
2
所以
?13i?3
Re???=, ?i1?i?25?13i?
Im???=?
2?i1?i?
13i34?13i?35?3??5?=??+???=， ???=+i，?
?i1i2?2i1i222???????13i??13i?
Arg???=arg???+2kπ ?i1?i??i1?i?
5
=?arctan+2kπ,k=0,±1,±2,\.
3
(3+4i)(2?5i)=(3+4i)(2?5i)(?2i)=(26?7i)(?2i) （3）
(2i)(?2i)2i4
=
7?7?26i
=??13i 22
7?(3+4i)(2?5i)?Re??=?，
2i2???(3+4i)(2?5i)?
Im??=?13，
2i??
1
22
所以
?
?(3+4i)(2?5i)?7
?=?+l3i
2i2??
(3+4i)(2?5i)=5
2i
29， 2
26?(3+4i)(2?5i)??(3+4i)(2?5i)?
Arg?=arg+2kπ=2arctan?π+2kπ ???2i2i7????
=arctan
26
+(2k?1)π,7
k=0,±1,±2,\.
（4）i8?4i21+i=i2?4i2i+i=(?1)4?4(?1)10i+i
=1?4i+i=1?3i
()4
()10
所以
Rei8?4i21+i=1,Imi8?4i21+i=?3
821821??=1+3i，|i?4i+i|=10 ?i?4i+i?
??
{}{} Argi8?4i21+i=argi8?4i21+i+2kπ=arg(1?3i)+2kπ
=?arctan3+2kπ
2．如果等式解：由于
x+1+i(y?3)[x+1+i(y?3)](5?3i)=
(5+3i)(5?3i)5+3i
=
5(x+1)+3(y?3)+i[?3(x+1)+5(y?3)]
34
1=[5x+3y?4]+i(?3x+5y?18)=1+i 34
k=0,±1,±2,\.
x+1+i(y?3)=1+i成立，试求实数x, y为何值。
5+3i
()()比较等式两端的实、虚部，得
?5x+3y?4=34?5x+3y=38
或 ??
xyxy?3+5?18=34?3+5=52??
解得x=1,y=11。
3．证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=i。 4．证明
1)|z|2=zz#6)Re(z)=
11
(z+z),Im(z)=(z?z)22i
2
证明：可设z=x+iy，然后代入逐项验证。
5．对任何z，z=|z|是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对z那些值才成立？
解：设z=x+iy，则要使z=|z|成立有
2
2
2
2
x2?y2+2ixy=x2+y2，即x2?y2=x2+y2,xy=0。由此可得z为实数。
6．当|z|≤1时，求|zn+a|的最大值，其中n为正整数，a为复数。 解：由于z+a≤|z|+|a|≤1+|a|，且当z=e
n
nn
i
argan
时，有
?iarga?n
|z+a|=?en?+|a|eiarga=(1+a)eiarga=1+|a| ??
??
故1+|a|为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
（1）i； （2）-1； （3）1+3i；
(cos5?+isin5?) 2i
（4）1?cos?+isin?(0≤?≤π)； （5）； （6）?1+i(cos3??isin3?)32
iππ
解：（1）i=cos+isin=e2；
22
π
（2）?1=cosπ+isinπ=eiπ
π
i??13ππ???=2?cos+isin?=2e3； +i（3）1+i3=2?
?22?33????
（4）1?cos?+isin?=2sin
2
?2
+i2sin
?2
cos
?2
=2sin
??
???
sinicos+?? 2?22?
π??2
π??π????i
=2sin?cos+isin?=2sine
2?22?2
??
,(0≤?≤π)；
（5）
?12i11?
?i=2i(?1?i)=1?i=2???? ?1+i22??2
ππ??=2?cos?isin?
44??
=2e
?i
π4
2
(cos5?+isin5?)（6）3(cos3??isin3?)=(ei5?)/(e?i3?)=ei10?/e?i9?=ei19?
23
3
=cos19?+isin19?
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式：?
?x=x1+a1,
yyb;=+11?
?x=x1cosα?y1sinα,
?y=x1sinα+y1cosα.
iα2）旋转公式：?
解：设A=a1+ib1，z1=x1+iy1，z=x+iy，则有 1）z=z1+A；2）z=z1(cosα+isinα)=z1e。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 解：设复数z=|z|eiArgz，则z(?i)=|z|eiArgz?e辐角减少
?iπ
2
π??
i?Argz??
2??
=|z|e，可知复数的模不变，
π2
。
2
2
2
2
11．证明：|z1+z2|+|z1?z2|=2(|z1|+|z2|)，并说明其几何意义。 证明：|z1+z2|+|z1?z2|
2
2
=(z1+z2)(z1+z2)+(z1?z2)(z1?z2) =2(z1z1+z2z2)
=2(|z1|2+|z2|2)
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数R(z)=
P(z)
可以化为X+iY的形式，其中X与Y为具Q(z)
有实系数的x与y的有理分式函数；
2）如果R(z)为1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么R(z)=X?iY；3）如果复数a+ib是实系数方程
a0zn+a1zn?1+\+an?1z+an=0
P(z)P(z)Q(z)Re(P(z)Q(z))Im(P(z)Q(z))
==+; Q(z)Q(z)Q(z)q(x,y)q(x,y)
的根，那么a?ib也是它的根。
证 1）R(z)=
2）R(z)=3）事实上
P(z)P(z)?P(z)?==??=X+iY=X?iY; Q(z)Q(z)?Q(z)?
P(z)=a0zn+a1zn?1+\+an?1z+an
4
=a0+a1z+a2z2+\+anzn=P(z)
13．如果z=eit，试证明 （1）zn+
11
=2cosnt； （2）zn?n=2isinnt nzz
解 （1）zn+
1
=eint+e?int=eint+eint=2sinnt nz1
（2）zn?n=eint?e?int=eint?eint=2isinnt
z
14．求下列各式的值 （1）
(3?i)； （2）(1+i)； （3）
5
6
6?1； （4）(1?i)
13
解 （1）
(??3i??
3?i=?2????=2e?iπ/6
?????22???
)5
5
()5
=32e?i5π/6
??5π??5π??
=32?cos???+isin????=?163?16i
?6????6?
（2）(1+i)66
??1i??
=?2?+??=
2????26
(2eiπ/4
)6
=8e3πi/2=?8i。
（3）?1=e
(iπ+2kπ)1
6
=e
iπ(2k+1)/6
,k=0,1,2,3,4,5。可知6?1的6个值分别是
eiπ/6=
3iiπ/23i+,e=i，eii5π/6=?+ 22223i3i
?，ei3π/2=?i，ei11π/4=?。 2222
1
3
ei7π/6=?
（4）(1?i)可知(1?i)1/3
13
??1i??
?=?2?????=
22????
(2e
1
?iπ/43
)=2e
6?π?i??+2kπ?3?4?
,k=0,1,2。
的3个值分别是
66ππ??2e?iπ/2=62?cos?isin?,
1212??
77ππ??
2ei7π/12=62?cos+isin?,
1212??
5π5π?
2ei5π/4=62?cos+isin
44?
n
6?
?。 ?
15．若(1+i)=(1?i)，试求n的值。
n
5
《复变函数与积分变换》课后答案
