第五类 解析几何问题重在“设”——设点、设线
解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.
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【例5】 (2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝4上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x2x212则x1≠x2，y1＝4，y2＝4，x1＋x2＝4.(设点) y1－y2x1＋x2
于是直线AB的斜率k＝＝4＝1.
x1－x2x2x
(2)由y＝4，得y′＝2.
x3设M(x3，y3)，由题设知2＝1，解得x3＝2，于是M(2，1). 设直线AB的方程为y＝x＋m，(设线)
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|. x2
将y＝x＋m代入y＝4得x2－4x－4m＝0.
2
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2m＋1. 从而|AB|＝2|x1－x2|＝42（m＋1）.
由题设知|AB|＝2|MN|，即42（m＋1）＝2(m＋1)， 解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
探究提高 1.(1)设点：设出A，B两点坐标，并得出x1≠x2，x1＋x2＝4.
(2)设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为y＝x＋m，利用条件可求出m的值. 2.破解策略：解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有y＝kx＋b、x＝my＋n及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.
【训练5】 (2024·昆明教学质量检测)在直角坐标系xOy中，已知定圆M：(x＋1)2＋y2＝36，动圆N过点F(1，0)且与圆M相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；
(2)设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|·|OT|为定值. (1)解 因为点F(1，0)在圆M：(x＋1)2＋y2＝36内， 所以圆N内切于圆M，则|NM|＋|NF|＝6>|FM|，
由椭圆定义知，圆心N的轨迹为椭圆，且2a＝6，c＝1，则a2＝9，b2＝8， x2y2
所以动圆圆心N的轨迹方程为9＋8＝1.
(2)证明 设P(x0，y0)，A(x1，y1)，S(xS，0)，T(xT，0)， 则B(x1，－y1)，由题意知x0≠±x1，
y1－y0则kAP＝，直线AP的方程为y－y1＝kAP(x－x1)，
x1－x0令y＝0，得xS＝
x0y1－x1y0
，
y1－y0
同理，xT＝x0（－y1）－x1y0x0y1＋x1y0
＝，
（－y1）－y0y1＋y0
?x0y1－x1y0x0y1＋x1y0?
·? |OS|·|OT|＝|xSxT|＝?
y1＋y0??y1－y0?x0y1－x1y0?
＝?22?， ?y1－y0?
x2y2
又P(x0，y0)和A(x1，y1)在椭圆9＋8＝1上，
22xx01????2
故y0＝8?1－9?，y21＝8?1－9?， ????
8222
则y1－y2＝0
9(x0－x1)，
2
x2x01??22222?2?2
x0y1－x1y0＝8x0?1－9?－8x1?1－9?＝8(x20－x1)， ????
2
8（x2?22220－x1）?
?x0y1－x1y0??
所以|OS|·|OT|＝?22?＝?822?＝9(定值).
?y1－y0?9（x0－x1）?
??
22
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2024届高考数学二轮复习第五类解析几何问题重在“设”——设点、设线学案(全国通用)
