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高等数学下试题及参考答案最新

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华南农业大学期末考试试卷(A卷)

2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人 得分 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.二元函数z?ln(y2?2x?1)的定义域为 。

2. 设向量ra?(2,1,2),rb?(4,?1,10),rc?rb??ra,且ra?rc,则?? 。

3.经过(4,0,?2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。4.设u?xyz,则du? 。 ?5.级数?(?1)n1np,当p满足 条件时级数条件收敛。 n?1得分 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.微分方程2(xy?x)y'?y的通解是

( )

A.y?Ce2x B.y2?Ce2x C.y2e2y?Cx D.e2y?Cxy 2.求极限

2?xy?4(x,ylim)?(0,0)xy?

( A.

14 B.?12 C.?14 D.12

3.直线L:x3?y?2?z7和平面?:3x?2y?7z?8?0的位置关系是 ( A.直线L平行于平面? B.直线L在平面?上 C.直线L垂直于平面? D.直线L与平面?斜交

))4.D是闭区域{(x,y)|a2?x2?y2?b2},则??x2?y2d??

D( )

?2?34?3A.(b3?a3) B.(b?a3) C.(b?a3)

2333?3D.(b?a3)

25.下列级数收敛的是

( )

??11?n1A.? B.?2 C.?

n?1n?1n?1(n?1)(n?4)n?12n?1?D.?n?1?1 3n(n?1) 得分 特解。

三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的

2. 计算二重积分??Dx?ydxdy,其中D?{(x,y)x2?y2?1,x?y?1}。 22x?y3.设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求

?z?z?。 ?x?y4.求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时针

L方向。

5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的区

D域。

(?1)nn1?6.判断级数?的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?7.将函数

1展开成x的幂级数,并求其成立的区间。

(1?x)(2?x) 得分 四、解答题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)

1.抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最长与最短距离。

?求幂级数?(?1)nnxn2. n?1(n?1)!的和函数。

3. 设函数f(x)和g(x)有连续导数,且f(0)?1,g(0)?0,L为平面上任意

简单光滑闭曲线,取逆时针方向,L围成的平面区域为D,已知

??Lxydx?[yf(x)?g(x)]dy???yg(x)d?,

D求f(x)和g(x)。

华南农业大学期末考试试卷(A卷)

2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学AⅡ参考答案 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.{(x,y)|y2?2x?1?0} 2.3

3.9y?z?2?0 4.yzxyz?1dx?zxyzlnxdy?yxyzlnxdz 5.0?p?1 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

1.C 2.C 3.C 4.B 5.A

三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程y'?y?ex满足初始条件x?0,y?2的特解。 解:先求y'?y?0的通解,得y?C?x1e………………2分

采用常数变易法,设y?h(x)e?x,得y'?h'(x)e?x?h(x)e?x………3分 代入原方程得h'(x)e?x?h(x)e?x?h(x)e?x?ex………………4分

得h(x)?12e2x?C………………5分

故通解为y?1ex?Ce?x2………………6分

将初始条件x?0,y?2带入得C?32,故特解为y?12ex?32e?x…………7分2. 计算二重积分??x?yx2?y2dxdy,其中D?{(x,y):x2?y2?1,x?y?1}。 D解:设x?rcos?,y?rsin?………………1分

则0????2,1sin??cos??r?1………………3分

所以??x?y??2d?1rcos??rsin?2dxdyrdr………………5分 Dx?y2?0?12sin??cos?r

???2(sin??cos??1)d?………………6分

0?4??………………7分 23. 设z?z(x,y)为方程2sin(x?2y?3z)?x?4y?3z确定的隐函数,求

?z?z?。 ?x?y解:设F(x,y,z)?x?4y?3z?2sin(x?2y?3z)………………1分

Fx?1?2cos(x?2y?3z),Fy??4?4cos(x?2y?3z),Fz?3?6cos(x?2y?3z)………………4分

FyFx?z2cos(x?2y?3z)?1?z4cos(x?2y?3z)?4……6分 ???,????xFz3[1?2cos(x?2y?3z)]?yFz3[1?2cos(x?2y?3z)]所以

?z?z??1………………7分 ?x?y4. 求曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy,其中L沿x2?y2?a2(x?0,y?0),逆时

L针方向。

解:圆的参数方程为:x?acost,?y?asint(0?t???2)……………1分

?(x?y)dx?(x?y)dy??L20(acost?asint)dacost??2(acost?asint)dasint……3

0分

??a2?20(cos2t?sin2t)dt………………4分

?a22?[sin2t?cos2t]0………………6分 2??a2………………7分

(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)

5. 计算??y51?x2?y6dxdy,其中D是由y?3x,x??1及y?1所围成的区

D域。

解:D?{(x,y)|3x?y?1,?1?x?1}………………1分

??yD51?x?ydxdy??dx?3y51?x2?y6dy………………2分

?1x261131212621????[(1?x?y)]3xdx………………4分

63?111???(|x|3?1)dx………………5分

9?121???(x3?1)dx………………6分

901?………………7分 6(?1)nn1?6. 判断级数?的敛散性,并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n?1nn?1?(?1)nn1n1解:………………1分 ???n?1nn?1n:1(n??)………………3分 n所以级数发散。………………4分 又

(?1)nn111??(?1)n(1?)………………5分 n?1n?1nn(?1)n(?1)n?1………………6分 ??n(n?1)n?(?1)n(?1)n显然,交错级数?,?都收敛,所以原级数收敛。因此是条nn?1n?1(n?1)n?件收敛。………………7分 7. 将函数

1展开成x的幂级数,并求其成立的区间。

(1?x)(2?x)解:

111??………………2分

(1?x)(2?x)1?x2?x?1??xn,|x|?1………………3分 而

1?xn?011xx?[1??()2?L](|x|?2)………………4分 2?x222所以

11xx?1?x?x2?L?[1??()2?L]………………5分

(1?x)(2?x)222

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华南农业大学期末考试试卷(A卷)2016~2017学年第2学期考试科目:高等数学AⅡ考试类型:(闭卷)考试考试时间:120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人得分一、填空题(本大题共5
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