梦幻网络( http://www.7139.com ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，
计划总结
第十一章 一次函数复习课
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=y=-x都是正比例函数.
【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象
把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
知识点 3一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-bk12x等都是一次函数，y=
12x，
，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.
画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正负决定直线的倾斜方向；
①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
梦幻网络( http://www.7139.com )——最大的免费教育资源网站
梦幻网络( http://www.7139.com ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，
计划总结
①如图11－18（l）所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x＋1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的．
知识点3 正比例函数y=kx（k≠0）的性质
（1）正比例函数y=kx的图象必经过原点；
（2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． 知识点4 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系
（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；
（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．
例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．
知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
知识点6 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出
梦幻网络( http://www.7139.com )——最大的免费教育资源网站
梦幻网络( http://www.7139.com ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，
计划总结
未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式．
解：设一次函数的关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由题意可知，
?1?2k?b, ??3??k?b,?4?k?,??3解? ?b??5.?3?∴此函数的关系式为y=
43x?53．
【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知
的常量，且k≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.
思想方法小结 （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
知识规律小结 （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．
梦幻网络( http://www.7139.com )——最大的免费教育资源网站
梦幻网络( http://www.7139.com ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，
计划总结
②当k，b异号时，即-当b=0时，即-bkbk＞0时，直线与x轴正半轴相交；
=0时，直线经过原点；
bk当k，b同号时，即-﹤0时，直线与x轴负半轴相交．
③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)
当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． （3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2?y1与y2相交；
?k1?k2?y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）②?；
b?b2?1?k1?k2,?y1与y2平行； ③??b1?b2?k1?k2,?y1与y2重合. ④?b?b2?1
典例剖析
基本概念题
本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之
间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=-12x； （2）y=-
2x； （3）y=-3-5x；
12（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.
[分析] 本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．
梦幻网络( http://www.7139.com )——最大的免费教育资源网站
梦幻网络( http://www.7139.com ) 数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，
计划总结
解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数． 例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）xm2?3+（m-4）是一次函数？
[分析] 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0． 解：∵函数y=（m-2）xm2?3+（m-4）是一次函数，
?m2?3?1,∴?∴m=-2.
?(m?2)?0,?∴当m=-2时，函数y=（m-2）xm2?3+（m-4）是一次函数．
小结 某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数
为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．
基础知识应用题
本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．
例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．
[分析] （1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长0．5cm，则挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+0．5x）cm，即y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围就是使函数关系式有意义的x的值，即0≤x≤18．
(3)由y=15+0．5x可知，y是x的一次函数． 解：（l）y=15+0．5x．
（2）自变量x的取值范围是0≤x≤18．
（3）y是x的一次函数．
学生做一做 乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度为58千米／时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式是 .
老师评一评 研究本题可采用线段图示法，如图11－19所示．
梦幻网络( http://www.7139.com )——最大的免费教育资源网站
经典例题剖析一次函数
