2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
222
2．已知M={y∈R|y=x}，N={x∈R|x+y=2}，则M∩N=（ ） A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D．
2
3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．
D．
4．已知双曲线C1：﹣=1（m＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则两个
双曲线的四个焦点构成的四边形面积为（ ） A．10 B．20 C．10 D．40
5．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②图象关于直线
对称；③函数在A．
D．
B．
上是增函数的函数可以是（ ）
C．
6．变量x，y满足不等式时，则a=（ ） A． B．﹣1 C．或﹣1
D．0
，其中a为常数，当2x+y的最大值为2
7．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（ ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 8．函数f（x）=sinx?ln|x|的部分图象为（ ） A．
B．
C．
D．
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9．已知数列{an}满足a1=1，且公式为（ ） A．an=
B．an=
C．an=n+2
，且n∈N），则数列{an}的通项
*
D．an=（n+2）3n
10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．7 B．7 C．7 D．8 11．函数f（x）=|ex+A．a∈[﹣1，1]
2
|（a∈R）在区间[0，1]上单调递增，则a的取值范围是（ ） B．a∈[﹣1，0]
C．a∈[0，1] D．a∈[﹣，e]
12．抛物线y=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则（ ） A．
B．1 C．
D．2
的最大值为
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．
13．已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为 ．
14．在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图1所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据xi（1≤i≤4），在如图2所示的程序框图中，是这4个数据中的平均数，则输出的v的值为 ．
15．已知1﹣x+x2﹣x3+…+（﹣1）nxn=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，且n为不小于2的自然数，则a2= ．（用n表示）
16．已知数列{an}满足a1=1，a2=4，a3=9，an=an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n=4，5，…）则S2n= ．（n∈N+）
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
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（Ⅰ）求cos∠CAD的值； （Ⅱ）若cos∠BAD=﹣
，sin∠CBA=
，求BC的长．
18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元； 乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 20 40 20 10 10 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 20 20 40 10
（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19．如图甲，在平面四边形PABC中，PA=AC=2，PA=AC=2，∠P=45°，∠B=90°，∠
PCB=105°，现将四边形PABC沿AC折起，使平面PAC⊥平面ABC（如图乙），点D是棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AD；
（Ⅱ）试探究在棱PC上是否存在点E，使得平面ADE与平面ABC所成的二面角的余弦值为
．若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
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（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当动点A，B满足∠APQ=∠BPQ时，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． 21．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x有且只有一个零点，其中a＞0． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx2成立，求实数k的最大值；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2∈（﹣1，+∞）（x1≠x2），证明：不等式
＞
恒成立．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E是圆O上的一点，弧弧相等，ED与AB交于点F，AF＞BF． （Ⅰ）若AB=11，EF=6，FD=4，求BF； （Ⅱ）证明：PF?PO=PA?PB．
与
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为线C1上的点M（2，
）对应的参数φ=
（a＞b＞0，φ为参数），且曲
．且以O为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐
与曲线C2交于点D（
，
标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=）．
（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程； （2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
）是曲线C1上的两点，求+的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知f（x）=2|x﹣2|+|x+1| （1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）设m，n，p为正实数，且m+n+p=f（2），求证：mn+np+pm≤3．
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2016年广东省深圳市宝安中学高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【考点】复数的基本概念．
【分析】当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．
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【解答】解：当a=1时，复数z=（a﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数．
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当复数z=（a﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1．
故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A．
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2．已知M={y∈R|y=x}，N={x∈R|x+y=2}，则M∩N=（ ） A．{（﹣1，1），（1，1）} B．{1} C．[0，1] D． 【考点】交集及其运算．
【分析】求出M中y的范围确定出M，求出B中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．
2
【解答】解：由M中y=x≥0，得到M=[0，+∞），
由N中x2+y2=2，得到﹣≤x≤，即N=[﹣，]， 则M∩N=[0，]， 故选：D．
3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2）（δ＞0），若P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，则μ的值为（ ） A．﹣1 B．1 C．
D．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量符合正态分布，得到正态曲线关于x=μ对称，根据P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1，和P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1，得到小于零的概率与大于1的概率相等，得到这两个数字关于对称轴对称，得到结果，
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【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ）（δ＞0）， 正态曲线关于x=μ对称， ∵P（ξ＜0）+P（ξ＜1）=1， 又P（ξ＞1）+P（ξ＜1）=1， ∴P（ξ＜0）=P（ξ＞1） ∴0和1关于对称轴对称， ∴μ=故选D
，
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广东省深圳市高考数学一模试卷理(含解析)
