解三角形综合与实际应用（讲案）
一、面积公式的应用
【例题讲解】
★★☆例题1．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c。向量m?(a,3b)与n?(cosA,sinB)平行。 （1） 求A； （2） 若a?答案：（1）7,b?2，求?ABC的面积。
33? （2） 23解析：（1）由m//n可得asinB?3bcosA，正弦定理边化角sinA?3cosA,A?2222（2）由余弦定理可得a?b?c?2bccosA，即c?2c?3?0，解得c?3，S??3； 133bcsinA? 22★★☆练习1．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c。设m?(a,b)，n?(sinB,sinA),p?(b?2,a?2)． （1） 若m//n，求证：?ABC为等腰三角形； （2） 若m?p，c?2,?C?答案：（1）见解析（2）3 解析：（1）由m//n得asinA?bsinB，即a?b，所以?ABC为等腰三角形；
22?3，求?ABC的面积。
222（2）由m?p得a(b?2)?b(a?2)?0，化简得ab?a?b。由余弦定理得c?a?b?2abcosC，代
入已知条件c?(a?b)?3ab?(ab)?3ab，解得ab?4，S?2221absinC?3 2★★☆练习2．锐角?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，且2asinB?3b。 （1） 求?A的大小；
（2） 若a?6,b?c?8，求?ABC的面积。
答案：（1）73? （2） 333?222,A?；（2）由余弦定理得a?b?c?2bccosA， 23解析：（1）由2asinB?3b可得sinA?即a?(b?c)?3bc，解得bc?2217328，S?bcsinA?
233二、完全平方公式思想
【例题讲解】
★★☆例题2．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，已知2cosC(acosB?bcosA)?c。 （1） 求C； （2） 若c?答案：（1）7，?ABC的面积为33，求?ABC的周长。 2? （2）a?b?c?5?7 3解析：（1）由射影定理得c?acosB?bcosA，所以2cosC(acosB?bcosA)?c可得2cosC?1,C?（2）因为S??3 133?2222absinC?，C?，所以ab?6。c?a?b?2abcosC?(a?b)?3ab，代223入可得a?b?5，所以a?b?c?5?7。 ★★☆练习1．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，已知（1） 求ac的值； （2） 若?ABC的面积S?cosAcosC1??，且b?2,a?c。 acb7，求a,c的值。 22 答案：（1）4 （2）a?22,c?解析：（1）由cosAcosC1ccosA?acosC1??得?，即ac?b2?4。 acbacb（2）S?1773acsinB?，所以sinB?，cosB?， 2244
a2?c2?b2(a?c)2?2ac?b2?因为cosB?代入得a?c?32，所以a?22,c?2 2ac2ac★★☆练习2．已知a?(2cosx?23sinx,1),b?(y,cosx)，且a//b。 （1）将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期； （2）?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，若f(B)?3，BA?BC?答案：（1）? （2）3 解析：（1）y?2cosx?23sinxcosx?cos2x?3sin2x?1?2sin(2x?（2）由f(B)?3得B?29,a?c?3?3，求b。 2?6)?1，T?? ?6，BA?BC?accosB，所以ac?33，所以b2?a2?c2?2accosB?(a?c)2?2ac(1?cosB)?3，b?3
三、恒等变换思想
【例题讲解】
★★☆例题3．在?ABC中，AC?6,cosB?（1） 求AB的长； （2） 求cos(A?4?,C?。 54?6)的值。
72?6 20答案：（1）52 （2）解析：（1）ACABAC?sinC??AB??52 sinBsinCsinB272 ，sinA?sin(B?C)?，所以1010（2） cosA??cos(B?C)??cos(A?)?cosAcos?sinAsin?666???72?6
20★★☆练习1．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，已知asin2B?3bsinA。
（1） 求B； （2） 若cosA?1，求sinC的值。 3（2）答案：（1）B??626?1 63?,B? 26解析：（1）因为asin2B?3bsinA，所以sinA?2sinBcosB?3sinAsinB，解得cosB?（2）sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?26?1 6★★☆练习2．斜?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，若csinA?3acosC。 （1） 求?C； （2） 若c?答案：（1）21，且sinC?sin(B?A)?5sin2A，求?ABC的面积。
53? （2） 43解析：（1）由csinA?3acosC得sinC?3cosC,C??3 （2）sinC?sin(B?A)?sin(B?A)?sin(B?A)?2sinBcosA?5sin2A，所以sinB?5sinA，即
b?5a，由余弦定理得c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab，解得a?1，S?★★☆例题4．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，且（1） 证明：sinAsinB?sinC； （2） 若b?c?a?22253 4cosAcosBsinC。 ??abc6bc，求tanB。 5答案：（1）见解析（2）tanB?4
cosAcosBsinCbcosA?acosBsinC2???得，即c?absinC，所以sinAsinB?sinC。 abcabc6634222222（2）由b?c?a?bc得b?c?a?2bccosA?bc，所以cosA?，tanA? ；由5553cosAcosBsinC11????1，解得tanB?4 得abctanAtanB解析：（1）由★★★练习1．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，已知b?c?2acosB。
（1） 证明：A?2B； （2） 若cosB?2，求cosC的值。 3a2（3） 若?ABC的面积S?，求?A的大小。
4答案：（1）见解析（2）cosC?22??（3）A?或A? 2742解析：（1）由b?c?2acosB得sinB?sinC?2sinAcosB，
sinB?sinAcosB?cosAsinB?sin(A?B)，所以A?2B
（2）因为cosB?51452,cosA?2cos2B?1??,sinA?，所以sinB?，3993cosC??cos(A?B)??cosAcosB?sinAsinB?22 27112sinB?sinC12sinCa2?a?，所以cosB?sinC （3）因为S?absinC?a22sinA4cosB4所以C??2?B或者C??2?B，根据三角形内角和为?可得 A??4或A??2。 四、向量的应用
【例题讲解】
★★☆例题5．?ABC的内角A,B,C所对边a,b,c，且
2cos2A?B3?cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)??。 25（1） 求cosA的值；
（2） 若a?42,b?5，求BA在BC方向上的投影。 答案：（1）? （2）解析：（1）
352 22cos2A?B?cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)?[cos(A?B)?1]?cosB?sin(A?B)sinB?cos(A?C)2
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