1、求下列不定积分 1）
?xsin2xdx；
x?1?cos2x??xxcos2x?dx???dx ???222??解：原式?x2xsin2xsin2xx2xsin2xcos2x???dx????C ?4444482）
??1?ln?1??dx； ?x???1?x11?x??dx?dx?lnx?1?C ??2?x?x?1xx?1解：原式?xln?1?3）
?arctanxdx；
解：原式?xarctanx?x?1?1?2x?1?x?dx
1?11 ?xarctanx??x2dx??dx
22x?1?x?1?3 ?xarctanx?x2?arctanx?C
44）
?xtan2xdx；
2x2?xtanx??tanxdx 解：原式??x?secx?1?dx??2x2?xtanx?lncosx?C ??25）
?arcsinxdx； 2x?解：令x?sint原式???2?t??2
arcsinx1arcsinx1??dx????dt
2xxsintx1?xarcsinxarcsinx11?x2?lncsct?cott?C???ln??C ??xxxx6）
?x3e?xdx；
2x2?x2x2?x21?x2?x2e??xedx??e?e?C 解： 原式??2227）
?sinxlntanxdx；
sec2xdx??cosxlntanx??cscxdx 解：原式??cosxlntanx??cosxtanx ??cosxlntanx?lncscx?cotx?C 8）
?xarctanx1?x2dx；
11?x2解：原式?1?xarctanx?2?dx
?1?x2arctanx?lnx?1?x2?C
??9）
?xexe?1xdx；
?ex1?e?1dx?2xe?1?2????dx xxe?1??e?1xxx2x?2解：原式?2xe?1?2
x??2xe?1?4e?1?2?xx?e??1??e????2dx?2xe?1?4e?1?2arcsinexx?x2?C
10）xlnx?1?x2dx；
???解：方法一、令x?tant
x2x22原式?lnx?1?x??dx
2221?x??x2tan2t2lnx?1?x???sec2tdt ?22sect??x21lnx?1?x2??tan2t?sectdt ?22?? 因为tan2t?sectdt?tantsect?sec3tdt?tantsect?????sect?tan2tsect?dt
?tantsect?lnsect?tant??tan2tsectdt
112tantsectdt?tantsect?lnsect?tant?C ?22x211原式?lnx?1?x2?tantsect?lnsect?tant?C
244x211 ?lnx?1?x2?x1?x2?lnx?1?x2?C
244方法二、
???? 设u?x??lnx?1?x?2?x21,v??x??x，则v?x???
24?x21??x21?12dx 原式????lnx?1?x?????22424????1?x???x21?12x2?12dx ????lnx?1?x??22441?x?????x21?1?x222 ????lnx?1?x???1?x?4?1?x2?24?????dx ??x21?1 ????lnx?1?x2?x1?x2?C
4?24???2、已知f(x)的一个原函数是
sinx，求?xf?(x)dx； x解：
?sinx??sinx?xf?(x)dx?xf?x???f?x?dx?x??C ??xx?? ?xcosx?2sinx?C
xx3、设f?(e)?1?x，求f(x).
解：令t?e，则x?lnt，f??t??1?lnt，f?t??x?f??t?dt???1?lnt?dt?tlnt?C
所以f?x??xlnx?C
作业22不定积分的分部积分法
