第二节 不等式的证明方法
[考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．
1．基本不等式
定理1：设a,b∈R,则a2＋b2≥2ab,当且仅当a＝b时,等号成立． a＋b
定理2：如果a,b为正数,则≥ab,当且仅当a＝b时,等号成立．
2定理3：如果a,b,c为正数,则
a＋b＋c33≥abc,当且仅当a＝b＝c时,等号成立．
a1＋a2＋…＋an
n
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则n
≥a1a2…an,当且仅当a1＝a2＝…＝an时,等号成立．
2．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d都是实数,则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时,等号成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α或β是零向量,或存在实数k,使α＝kβ(α,β为非零向量)时,等号成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：设x1,y1,x2,y2,x3,y3∈R,
则?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?x2－x3?2＋?y2－y3?2≥?x1－x3?2＋?y1－y3?2.
2222
(4)柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a1＋a22＋…＋an)(b1＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn),当且仅当bi＝0(i＝1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai＝kbi(i＝
1,2,…,n)时,等号成立．
3．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等． (1)比较法：
①比差法的依据是：a－b>0?a>b,步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段,变形的目的是判断差的符号．
A
②比商法：若B>0,欲证A≥B,只需证B≥1.
(2)综合法与分析法：
①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．
②分析法：从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．
( )
(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证的结论．
( )
(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )
(4)使用反证法时,“反设”不能作为推理的条件应用． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
ba
2．(教材改编)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a＋b≥2,其中恒成立的是( )
A．①③ C．①②③
B．②③ D．①②
23??3
D [由①得x2＋3－3x＝?x－2?＋4＞0,所以x2＋3＞3x；对于②,因为a2＋b2－2(a－b－1)
???a－b?2baba
＝(a－1)＋(b＋1)≥0,所以不等式成立；对于③,因为当ab＜0时,a＋b－2＝ab＜0,即a＋b
2
2
＜2,故选D.]
3．若a＝3－2,b＝6－5,c＝7－6,则a,b,c的大小关系为( ) A．a>b>c C．b>c>a
A [“分子”有理化得a＝
B．a>c>b D．c>a>b
111
,b＝,c＝,∴a>b>c.] 3＋26＋57＋6
11
4．已知a＞0,b＞0且ln(a＋b)＝0,则a＋b的最小值是________． 4 [由题意得,a＋b＝1,a＞0,b＞0,
11?11?ba∴a＋b＝?a＋b?(a＋b)＝2＋a＋b
??≥2＋2
baa·b＝4,
1
当且仅当a＝b＝2时等号成立．]
用综合法与分析法证明不等式
【例1】 设a,b,c,d均为正数,且a＋b＝c＋d.证明： (1)若ab＞cd,则a＋b＞c＋d；
(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件． [证明] (1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab, (c＋d)2＝c＋d＋2cd, 由题设a＋b＝c＋d,ab＞cd, 得(a＋b)2＞(c＋d)2. 因此a＋b＞c＋d.
(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|,则(a－b)2＜(c－d)2, 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd. 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd. 由(1),得a＋b＞c＋d.
②充分性：若a＋b＞c＋d,则(a＋b)2＞(c＋d)2, 即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd. 因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd.
于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因为|a－b|＜|c－d|.
综上,a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
[规律方法] 分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.
高中数学复习教案：不等式的证明方法
