??x－2y＋1≥0，??x－2y＋1≤0，
解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即?或?与选项C
??x＋y－3≤0x＋y－3≥0，??
符合．故选C.
x－y≥0，
??2x＋y≤2，
2．若不等式组?所表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
y≥0，??x＋y≤a4
A．a≥
34
C．1≤a≤
3
B．0 D．0 3 x－y≥0，?? 解析：选D.不等式组?2x＋y≤2，所表示的平面区域如图所示(阴影部分)． ??y≥0 ??y＝x， 由?得?2x＋y＝2，? ?22??y＝0，?，A?得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域?；由? ?33??2x＋y＝2，? 4 是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0 3 求线性目标函数的最值(范围)(多维探究) 6 角度一 求线性目标函数的最值(范围) 2x＋3y－6≥0，?? (2019·高考全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件?x＋y－3≤0，则z＝3x－y??y－2≤0， 的最大值是 ． 【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x－y＝0，并平移，当直线经过点(3，0)时，直线在y轴上的截距最小，此时z＝3x－y取得最大值，且zmax＝9. 【答案】 9 (1)求目标函数的最值 形如z＝ax＋by(b≠0)的目标函数，可变形为斜截式y＝－x＋(b≠0)． ①若b>0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时， abzbz值最小； ②若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大． (2)求目标函数最优解的常用方法 如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断： ①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 角度二 求非线性目标函数的最值(范围) x－y＋1≤0，?? 实数x，y满足?x≥0， ??y≤2. 7 (1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围； (2)若z＝x＋y，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围． 2 2 yxx－y＋1≤0，?? 【解】 由?x≥0，作出可行域， ??y≤2， 如图中阴影部分所示． (1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率， 因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)． ?x－y＋1＝0，???y＝2， yxyx由?得B(1，2)， 2 所以kOB＝＝2，即zmin＝2， 1所以z的取值范围是[2，＋∞)． (2)z＝x＋y表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x＋y的最小值为OA，最大值为OB. ??x－y＋1＝0，由?得A(0，1)， ?x＝0，? 2 2 2 2 2 2 所以OA＝(0＋1)＝1， 2222 OB2＝(12＋22)2＝5，所以z的取值范围是[1，5]． 【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z＝解：z＝ y－1 的取值范围． x－1 y－1 可以看作过点P(1，1)及(x，y)两点的直线的斜率． x－1 所以z的取值范围是(－∞，0]． 【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z＝x＋y－2x－2y＋3的最值． 解：z＝x＋y－2x－2y＋3 ＝(x－1)＋(y－1)＋1， 而(x－1)＋(y－1)表示点P(1，1)与Q(x，y)的距离的平方PQ， 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 PQ2max＝(0－1)＋(2－1)＝2， ?|1－1＋1|?21PQ＝?22?＝， ?1＋（－1）?2 2min 13 所以zmax＝2＋1＝3，zmin＝＋1＝. 22 常见两类非线性目标函数的几何意义 (1)x＋y表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，（x－a）＋（y－b）表示点(x， 2 2 2 2 y)与点(a，b)间的距离； (2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，角度三 求参数值或取值范围 2x－y＋1≥0，?? (2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x，y满足?x＋y≥0，若z＝ax－ ??x≤0， yxy－b表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． x－ay(a∈R)的最小值是－1，则a的取值范围是 ． 【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y＝ax－z，当截距－z最大时，目标函数z取得最小值，因为z＝ax－y(a∈R)的最小值是－1，所以在A(0，1)处取得最小值．由图象可知，直线y＝ax－z的斜率a≤2，因为当a>2时，目标函数在B点取得最小值，所以a的取值范围是(－∞，2]． 【答案】 (－∞，2] 求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数． 9 x＋y－2≤0，??x－y＋2≥0， 1．(2019·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件?则目标函数z＝－4xx≥－1，??y≥－1， ＋y的最大值为( ) A. 2 C. 5 B. 3 D． 6 解析：选C.法一：作出可行域如图中阴影部分所示．由z＝－4x＋y得y＝4x＋z，结合图形可知当直线y＝4x＋z过点A时，z最大， 由? ??x－y＋2＝0，??x＝－1， 得A(－1，1)， 故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C. 法二：易知目标函数z＝－4x＋y的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．当直线y＝4x＋z经过点(－1，1)时，z＝5；当直线y＝4x＋z经过点(0，2)时，z＝2；当直线y＝4x＋z经过点(－1，－1)时，z＝3；当直线y＝4x＋z经过点(3，－1)时，z＝－13.所以zmax＝5，故选C. ??x≥0 2．(2020·福州市质量检测)已知点A(0，2)，动点P(x，y)的坐标满足条件?，则 ?y≤x? |PA|的最小值是 ． 解析：可行域为如图所示的阴影部分，|PA|表示可行域上的点到点A(0，2)的距离，所|－2| 以|PA|的最小值转化成点A到直线y＝x的距离，所以|PA|min＝＝2. 2 10
2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题教案 文 新人教A版
