第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
一、知识梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 不包括边界直线 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 Ax＋By＋C>0(<0) Ax＋By＋C≥0(≤0) 不等式组 2.二元一次不等式(组)的解集
包括边界直线 各个不等式所表示平面区域的公共部分 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 关于x，y的一次函数解析式 满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1
常用结论
1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．
二、习题改编
x≤2，??
(必修5P91练习T1改编)若x，y满足?y≥－1，则y－x的最小值为 ，
??4x－3y＋1≥0，
最大值为 ．
答案：－3 1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏
常见误区(1)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (2)不理解目标函数的几何意义； (3)平面区域内点满足关系不理解．
1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ． 解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点
2
2
(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.
3
?2?答案：?，＋∞? ?3?
y＋2≥0，??
2．设x，y满足约束条件?x－2≤0，则z＝x＋y的最大值与最小值的比值
??2x－y＋1≥0.
为 ．
解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
z＝x＋y可化为y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过A点时，z最大，联立?
?x－2＝0，?
??2x－y＋1＝0.
???x＝2，?y＋2＝0，
得?故A(2，5)，此时z＝7；当直线y＝－x＋z经过B点时，z最小，联立??y＝5，?2x－y＋1＝0，??
3??x＝－，37?2故B?－得??2，－2?，此时z＝－2，故最大值与最小值的比值为－2.
????y＝－2，
答案：－2
x－y＋5≥0，??y－1
3．已知x，y满足条件?x＋y≥0，则z＝的最大值为 ．
x＋3
??x≤3，
解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知5
－1255??点A?－，?，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3. 5?22?
－＋32
3
答案：3
二元一次不等式(组)表示的平面区域(典例迁移)
x≥0，??
(1)不等式组?x＋3y≥4，所表示的平面区域的面积等于( )
??3x＋y≤4
3
A. 24C. 3
2B. 33D． 4
x≥1，??
(2)设不等式组?x－y≤0，表示的平面区域为M，若直线y＝kx－2上存在M内的点，则
??x＋y≤4
实数k的取值范围是( )
A．[1，3] C．[2，5]
B．(－∞，1]∪[3，＋∞) D．(－∞，2]∪[5，＋∞)
?4?【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A?0，?，B(1，
?3?
184
1)，C(0，4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.
233
x≥1，??
(2)作出不等式组?x－y≤0，表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l：y??x＋y≤4
＝kx－2的图象过定点A(0，－2)，且斜率为k，由图知，当直线l过点B(1，3)时，k取最3＋22＋2
大值＝5，当直线l过点C(2，2)时，k取最小值＝2，故实数k的取值范围是[2，
1－02－05]．
4
【答案】 (1)C (2)C
【迁移探究】 (变问法)本例(2)中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何？ 解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B(1，3)和C(2，2)，所以|BC|＝2，1
所以S＝×2×2＝1.
2
二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法
(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )
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2021版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第3讲 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题教案 文 新人教A版
