单级倒立摆 前言
自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。
控制理论的发展，起于 “经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。 设计目的及意义
1）、理论联系实际，加强对自动控制理论的理解。增强分析问题、解决问题的能力。 2）、熟悉MATLAB软件，掌握它在控制系统设计当中的应用，能熟练进行系统建模、性能分析、模型仿真等操作。
3）、用单片机进行编程，实现PID的控制算法，了解控制算法的具体实现及单片
机软件仿真过程。开发创新意识，增进对科学技术的兴趣,培养严肃认真的 科学态度。
1. 倒立摆
1.1 倒立摆的概念
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。
常见的单级倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成。如下图
图1-1 单级倒立摆装置
1.2研究倒立摆稳定性的意义
倒立摆的研究具有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，再到机器人行走。都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多应用，如火箭姿态控制、卫星发射架的稳定控制、飞机安全着陆、海上钻井平台的稳定控制等。
2. 单级倒立摆的数学模型
2.1单级倒立摆的系统描述
只要一提小车倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型，即对应于直流电机的情况。事实上，小车倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车倒立摆系统。其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。
图2-1 单级倒立摆系统的原理图
图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
2.2单级倒立摆系统的数学建模
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: ①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。
②可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力等。
2.2.1结构参数
这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-1所示平面运动。控制力u作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M，小车瞬时位移为x，摆杆瞬时位置为（x+2L*sinθ），在外力的作用下，系统产生运动。假设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力u，输出为摆角θ。
2.2.2系统的运动方程
图2-2 小车沿x轴的受力分析 图2-3 摆的受力分析
小车沿x轴方向的受力分析如图2-2所示，根据牛顿第二定律得
?Fx&&?Mx （2-1）
&&u?H?Mx （2-2）
摆的受力分析如图2-3所示，根据牛顿第二定律得 摆杆重心沿x轴方向运动方程为
?Fx&&?mx （2-3）
d2?x?Lsin??H?mdt2 （2-4）
摆杆重心沿y轴方向运动方程为
?Fy&&?my （2-5）
d2?Lcos??V?mg?mdt2 （2-6）
摆杆围绕重心转动方程为
?MG?JG? （2-7）
&&mL2?VLsin??HLcos??12 （2-8）
上述方程（2-1）到（2-8）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。
当θ很小的时候,可对方程线性化.由于控制的目的是保持道理摆稳定, θ很小,可以合理的认为sinθ趋于0,cosθ趋于1,在这些假设条件下,可进行线性化处理有
&&u?H?Mx (2-9)
&&&&H?m?mL? (2-10) V?mg?0 (2-11) &&mL2?VL??HL?12 (2-12)
由上述(2-9)到(2-12)方程,消去V、H后,有
&&&u??m?M?&x?mL? (2-13)
&&13mL2?&&?mx?mgL?12 (2-14)
再消去,得
13??&?mL?m?ML?&??m?M?g??u????12?? (2-15)
13??&mL?m?ML?&??m?M?g???u????12?即 ? (2-16)
单级倒立摆设计
