轨迹方程问题汇总
11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________.
解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－2=2.
PACOMBN
∴P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8.
x2y2∴方程为－=1(x>1).
18y22
答案:x－=1(x>1)
812.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.
a21解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y==8,e=.
c2a2c21由c=2,=8,得a=4,满足e===.
ca42y2x2∴椭圆方程为+=1.
1612y2x2答案: +=1
161216.(本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2－y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.
解:如图,F1(－22，0)、F2(22，0)、M(x,y)，
yPF2F1OMNx
延长F1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0). 由已知可得M为F1N的中点,
?x?22x?0?x0?2x?22,??2∴? ?y?y0?y?2y.0?2?用心 爱心 专心 - 1 -
又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=2a=4, ∴(x0－22)2+y02=16.
∴(2x+22－22)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4.
评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.
17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.
CDABP
解:设M是这种界线上的点， 则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, 即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50. ∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点 O
x2y2为原点的直角坐标系，则曲线为2－2=1,
ab1其中a=25,c=|AB|.
2∴c=257,b2=c2－a2=3750.
x2y2∴所求曲线方程为－=1(x≥25,y≥0).
625375018.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且
|PF|=
223d,≤d≤. 232(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若PF2OF=
1，求向量OP与OF的夹角. 3a2解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,=2,∴a=2.
ce=
22c1==满足|PF|=d.
22a2x2y2∴P点的轨迹为+=1.
21a223又d=－x,且≤d≤,
c32用心 爱心 专心
- 2 -
2314≤2－x≤.∴≤x≤. 3223x2214∴轨迹方程为+y=1(≤x≤).
223x2214(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为+y=1(≤x≤),∴F(1,0)、P(x0,y0).
223∴
OF=(1,0),OP=(x0,y0),PF=(1－x0,－y0).
11,∴1－x0=. 3372∴x0=,y0=±.
33∵PF2OF=
又OP2OF=|OP|2|OF|2cosθ, ∴12x0+02y0=x0?y0212cosθ.
22∴cosθ=
x0x0?y022=
2223==11. 111147?99∴θ=arccos
211. 11221．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分）
如图所示，已知圆C:(x?1)?y?8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，
点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的
轨迹为曲线E.
（I）求曲线E的方程；
（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.
【解】（1）?AM?2AP,NP?AM?0.
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分
又
?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为2a?22,焦距2c=2. ?a?2,c?1,b2?1.……………5分
x2?y2?1.………………6分 ∴曲线E的方程为2（2）直线l的斜率k?tan45??1.
用心 爱心 专心
- 3 -
高中数学 轨迹方程问题汇总(详细解析)新人教A版
