第2讲 直接证明与间接证明
一、选择题
1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )
A 小前提错 B 结论错 C 正确 D 大前提错 解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C. 答案 C
2．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是( )． A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m?α，n∥α，则m∥n
D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
解析 对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m?α，n∥α，则m∥n”． 答案 C
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 A．2ab－1－a2b2≤0 ?a＋b?2
C.2－1－a2b2≤0
( )．
44a＋b
B．a2＋b2－1－2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析 因为a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故选D. 答案 D
4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )．
A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定 解析 ∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)． 又∵an＋1－an＝4(n≥1)，
∴{an}是等差数列． 答案 B
111
5．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋b，b＋c，c＋a( )． A．都大于2
B．都小于2
D．至少有一个不小于2
C．至少有一个不大于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
1??1??1??1??1??
∴?a＋b?＋?b＋c?＋?c＋a?＝?a＋a?＋?b＋b?＋ ??????????
?1??c＋c?≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至??少有一个不小于2. 答案 D
6．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ ( )．
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝?＝n. 答案 A 二、填空题
7．要证明“3＋7＜25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．
①反证法，②分析法，③综合法． 答案 ②
8．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________． 解析 取a＝2，b＝1，得m a－b 19 9．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且a＋b＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 19 解析 ∵a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1， ?19??9ab?∴a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝10＋?b＋a?≥10＋29＝16，∴a＋b的最小值为16. ????∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16. 答案 (0,16] 10．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a>b与a 解析 ①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立， 如a＝1，b＝2，c＝3.选C. 答案 ①② 三、解答题 |a|＋|b| 11．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤2. |a＋b|证明 a⊥b?a·b＝0， |a|＋|b|要证≤2. |a＋b| 只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证． 12．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 2 (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则S2＝S1S3， 2即a1(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
高考数学(人教a版,理科)题库：直接证明与间接证明(含答案)
