南通市、泰州市2024届高三上学期期末联考
数学试卷2024.1.14
一、填空题
1.已知集合 A＝ ??1，0，2?， B＝ {?1，1，2}， 则 A∩B =________.
2.已知复数 z 满足?1? i? z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.
3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______. 4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.
5.已知等差数列?an? 的公差 d 不为 0 ，且 a1，a2，a4 成等比数列，则
a1的值为_____. d6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______. 7.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， AA1＝AB＝2 ，则三枝锥 A1 ? BB1C1 的体积为______. 8.已如函数
.若当 x ＝
?时，函数 f ?x? 取得最大值，则? 的最小值为6______.
9. 已 知 函 数 f ?x? ＝ ?m ? 2?x2 ? ?m ? 8?x ?m ?R ? 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ? R ， 关 于 x 的 不 等 式f ? x 2 ?1? ? f ?a ? 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.
10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A，B 分别在双曲线C : x2 ? y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.
11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 ?1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2024 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.
uuuruuur12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若CD?2DA，则 BD 的最小值为______.
13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C1 : x2 ? y 2 ＝ 8 与圆C2 : x2 ? y 2 ? 2x ? y ?a ＝ 0 相交于 A，B 两点.若圆C1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______.
14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ? x? ? 2af ?x??1? a2 ＝ 0 有五个不相等
的实数根，则实数 a 的取值范围是______. 二、解答题
15. (本小题满分 14 分)
如图，在三棱锥 P ? ABC 中， PA ? 平面 ABC ， PC ? AB ， D， E 分别为 BC， AC 的中点。
求证: (1) AB / / 平面 PDE ; (2)平面 PAB ? 平面 PAC .
16. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，已知AC＝4，BC＝3，cosB＝－(1)求sin A 的值: (2)求 BAgBC的值。
17. (本小题满分 14 分)
1 。 4uuuruuurx2y2如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E :2?2?1(a?b?0)的焦距为 4 ，两条准线间的距
ab离为8 ， A， B 分别为椭圆 E 的左、右顶点。
(1)求椭圆 E 的标准方程:
(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC ＝ 4 ，点 M ， N 分别在边 BC，CD 上， AM 与 BN 相交于第一象限内的点 P .
①若 M ， N 分别是 BC，CD 的中点，证明:点 P 在椭圆 E 上; ②若点 P 在椭圆 E 上，证明:
BM为定值，并求出该定值。 CN
18. (本小题满分 16 分)
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图， 小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O 逆时针旋转? 到三角形A1B1C1 ，且AA1BB1CC1 . (1)当? ＝
.顺次连结 A， A1，B，B1，C，C1，A ，得到六边形徽标
? 时，求六边形徽标的面积; 6(2)求六边形微标的周长的最大值.
19. (本小题满分 16 分)
已知数列{an}满足： a1 ＝ 1， 且当 n ? 2 时，（1）若 ? ＝ 1， 证明：数列{a2n?1}是等差数列； （2）若 ? ＝ 2. ①设
，求数列{bn} 的通项公式；
，证明：对于任意的 p， m? N *，当 p ? m， 都有 p ? Cm.
②设
20. (本小题满分 16 分) 设函数
，其中 e 为自然对数的底数.
（1）当 a ＝ 0 时，求函数 f (x) 的单调减区间；
（2）已知函数 f (x) 的导函数 f ?(x) 有三个零点 x1， x2， x3(x1 ? x2 ? x3). ①求 a 的取值范围；
②若 m1， m2(m1 ? m2) 是函数 f (x) 的两个零点，证明： x1 ? m1 ? x1 ?1.
21．【选做题】本题包括A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10 分）
已知，向量是矩阵的属于特征值3 的一个特征向量．
（1）求矩阵；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2,2），求点P的坐标．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10 分）
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t 为参数），椭圆C 的
参数方程为
( ?为参数)．求椭圆C 上的点到直线l的距离的最大值
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10 分） 已知a，b，c都是正实数，且证明：
22．(本小题满分10 分)
如图，在直四棱柱中ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2 ， ． （1）求二面角C1－B1C－D1的余弦值；
（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为
． ．
415，求AQ15的长．
23．(本小题满分10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1 只. 现从口袋中先后有放回地取球2n次
，且每次取1 只球.
（1）当n=3时，求恰好取到3 次红球的概率；
（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量求Y的数学期望（用n表示）
南通、泰州市2024届高三第一次调研测试数学试题含附加题
