【总结升华】转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归结为易解决的问题，本题中将含参不等式的恒成立问题转化为求函数最值的问题． 举一反三： 【变式1】已知函数f(x)?值范围. 【解析】对于?x?(0,??)，不等式f(x)?2(a?1)成立?fmin(x)?2(a?1)，?x?0? ① 下面求在y=f(x)，?x?0?的最小值： 2?alnx?2 (a?0).若对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立，试求a的取x2aax?2??， 2xxx222由f?(x)?0解得x?；由f?(x)?0解得0?x?. aa22所以f(x)在区间(, ??)上单调递增，在区间(0, )上单调递减. aa22所以当x?时，函数f(x)取得最小值，ymin?f(). aaf?(x)??因为对于?x?(0,??)都有f(x)?2(a?1)成立， 所以f()?2(a?1)即可. 2a2222?aln?2?2(a?1). 由aln?a解得0?a?. 2aeaa2所以a的取值范围是(0, ). e则【变式2】已知函数f(x)?xlnx,g(x)?x2?． xee证明：对任意m,n?(0,??)，都有f(m)?g(n)成立． 【解析】要证明对任意m,n?(0,??)，都有f(m)?g(n)， 即证明fmin(m)?gmax(n)，m,n?(0,??). 下面进行证明： 易知f(x)?xlnx(x?(0,??))在x?又f()??， 1时取得最小值， e1e1e1． ex21?x由g(x)?x?，可得g'(x)?x． eee可知f(m)??
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所以当x?(0,1),g'(x)?0,g(x)单调递增， 当x?(1,??),g'(x)?0,g(x)单调递减. 所以函数g(x)(x?0)在x?1时取得最大值， 又g(1)??， 可知g(n)??， 所以对任意m,n?(0,??)，都有f(m)?g(n)成立． 类型五：数形结合思想在导数中的应用 1e1e3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯例7.求函数f?x?＝x－并说明关于x的方程x－3ax＋2的极值，33一的实根(其中a>0)？ 【解析】函数的定义域为R，其导函数为f??x?＝3x－3a. 2由f??x?＝0可得x＝?a，列表讨论如下： x f′(x) (－∞，－＋ ↗ a) －0 a (－a，a) － ↘ 32a 0 极小值 (a，＋∞) ＋ ↗ f?x? 由此可得，函数在x＝－在x＝极大值 a处取得极大值f(－a)＝2+2a； 32a处取得极小值f(a)＝2－2a. 根据列表讨论，可作函数的草图(如图)： 第 17 页 共 29 页
2+2a>0， 因为极大值f(－a)＝2－2a<0，即a>1时，方程x－3ax＋2＝0有三个不同的实根； 故当极小值f(a)＝2－2a>0，即0 【变式2】已知f?x?＝ax＋bx＋x，(a、b?R且ab?0)的图象如图所示，若x1?x2，则有( ) 32A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<0 【答案】B 由f?x?的图象易知f?x?有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，因此f??x?＝3ax＋2bx＋1的图象如图所2示， 第 19 页 共 29 页 因此a<0. 又x1?x2，∴?x1?x2， ∴x1+x2?0，即x1+x2=?类型六：导数的实际应用 例8. 某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)＝1x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)． 22b?0，∴b<0. 3a该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)＝150＋2x(x∈N*，且x≤12)， (1)写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式； (2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？ 【解析】(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37； 当2≤x≤12时， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝11x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x·(41－2x) 22＝－3x2＋40x(x∈N*，且2≤x≤12)． 验证x＝1符合f(x)＝－3x2＋40x， ∴f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)＝(－3x2＋40x)(185－150－2x) ＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N*,1≤x≤12)， g′(x)＝18x2－370x＋1 400， 令g′(x)＝0，解得x＝5，x＝当1≤x<5时，g′(x)>0； 当5 第 20 页 共 29 页
人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-导数及其应用全章复习
