人教版高中数学选修1-1教学讲义
年 级 ： 上 课 次 数 ： 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ： 课 题 课 型 授课日期及时段 《导数及其应用》全章复习与巩固 □ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课 教 学 内 容 《导数及其应用》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 导数概念 通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义. 2. 导数运算 （1）会用导数定义计算一些简单函数的导数； （2）会利用导数公式表求出给定函数的导数； （3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数. 3. 体会研究函数的意义 （1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用； （2）会用导数的符号来判断函数的单调性； （3）会利用导数研究函数的极值点和最值点. 4.导数在实际问题中的应用 （1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型； （2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义； （3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决. 【知识网络】
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【要点梳理】 要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念： '?x0?表示，定义为： 函数y=f(x)在x0点的导数，通常用符号f‘ 要点诠释： （1）f??x0?＝limf?x0??x??f?x0??y?lim ?x?0?x?x?0?x?yf?x1??f?x0?f?x0??x??f?x0?，它表示当自变量x从x0变x1，函数值从f?x0?变到f?x1?时，函数?=?xx1?x0?x值关于x的平均变化率.当?x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的导数. （2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率． （3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S从时间t1到t2的平均变化率即为t1到t2这段时间的平均速度． 导数的几何意义： f‘'?x0?表示曲线y=f(x)在x?x0处的切线的斜率，即 f‘'?x0?=tan?（?为切线的倾斜角） 要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组. 导数的物理意义： 第 2 页 共 29 页
在物理学中，如果物体运动的规律是s=s?t?，那么该物体在时刻t0的瞬时速度v就是s=s?t?在t=t0时的导数，即v=s'?t0?； 如果物体运动的速度随时间变化的规律是v?v?t?，那么物体在时刻t0的瞬时加速度a就是v?v?t?在t=t0时的导数，即a?v'?t0?． 要点诠释：f'(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度??t?对时间t的变化率；瞬时电流是电量Q?t?对时间t的变化率；瞬时功率是功W?t?对时间t的变化率；瞬时电动势是磁通量Φ?t?对时间t的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数 基本初等函数 常数函数y?c?c为常数? 幂函数y?xn导数 特别地 y'?0 ?'?0，e'=0 1?1?，'? ??2x?x?x?n为有理数? xy?n?xn?1 ?x?'?21x x指数函数y?a 对数函数y?logax 正弦函数y?sinx 余弦函数y?cosx y'?ax?lna ?e?'?e?lnx?'??tanx?'=???cotx?'=?? y'?1 x?lna1 xy'?cosx sinx?1 ?'=2cosxcosx??y'??sinx cosx?1?'= 2 ?sinx?sinx要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数 要点诠释：
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（1）一个推广：(u1?u2?L?un)'?u'1?u'2?L?u'n． （2）两个特例：(cu)'?cu'（c为常数）；?复合函数的导数 设函数u??(x)在点x处可导，u'x??'(x)，函数y?f(u)在点x的对应点u处也可导y'u?f'(u)，则复合函数y?f[?(x)]在点x处可导，并且y'x?y'u?u'x，或写作f'x[?(x)]?f'(u)??'(x)． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性 设函数y?f(x)在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有f'(x)?0，则函数f(x)在（a，b）内为常数函数. 要点诠释： （1）在区间(a,b)内，f'(x)?0（或f?(x)?0）是f(x)在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件. （2）只有当在某区间上有有限个点使f'(x)?0时，f?(x)?0（或f?(x)?0）?f(x)在该区间内是单调递增（或减）. 利用导数研究可导函数的极值 求函数y?f(x)在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f?(x)； ③求方程f?(x)?0的根； ④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f?x?在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f?x?在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①注意极值与极值点的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ．．．．．②可导函数f(x)在点x0取得极值的充要条件是f?(x0)?0 ③可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即f?(x0)?0是可导函数f(x)在点x0取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x，在x=0处，f'(0)?0，但x=0不是函数的极值点. 3?1?1'?g(x)?1?g'(x)g'(x)'???(g(x)?0)． ?22g(x)g(x)g(x)??，且在x0两侧f?(x)的符号相异。 第 4 页 共 29 页 利用函数研究可导函数的最值 若函数y?f(x)在闭区间[a,b]有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数f(x)在(a,b)内的导数f?(x)； ②求方程f?(x)?0在(a,b)内的根； ③求在(a,b)内所有使f?(x)?0的的点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)； 比较上面所求的值，其中最大者为函数y?f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，最小者为函数y?f(x)在闭区间[a,b]上的最小值. 要点诠释： ①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可. ②若f(x)在开区间(a,b)内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：导数在解决实际问题中的应用 我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题. 在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决. 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤： (1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y?f(x)； (2) 求函数的导数f'(x)，解方程f'(x)?0； (3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释： ①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，
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人教版高中数学选修1-1教学案讲义与课后作业-导数及其应用全章复习
