【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．
4．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）将 “AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等. （3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或【解析】 【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
3（3）9s 2（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
（3）因为VQ＜VP，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得． 【详解】
（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，
又∵∠A=∠B=90°，
?AP?BQ?在△ACP与△BPQ中，??A??B，
?AC?BP?∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， ∠CPQ=90°，
则线段PC与线段PQ垂直. （2）设点Q的运动速度x,
①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
?9?12?t， ??t?xt解得??t?3， ?x?1②若△ACP≌△BPQ，则AC=BQ，AP=BP，
?9?xt ?t?12?t??t?6?解得?3，
x??2??t?6?t?3?综上所述，存在?或?3使得△ACP与△BPQ全等.
x?1x???2?（3）因为VQ＜VP，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程， 设经过x秒后P与Q第一次相遇，
∵AC=BD=9cm，C，D分别是AE，BD的中点； ∴EB=EA=18cm. 当VQ=1时， 依题意得3x=x+2×9， 解得x=9； 当VQ=
3时， 23x+2×9， 2依题意得3x=解得x=12.
故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.
5．如图，在?ABC中，?C?90?，AC?BC?4cm，点D是斜边AB的中点．点E从点B出发以1cm/s的速度向点C运动，点F同时从点C出发以一定的速度沿射线CA方向运动，规定当点E到终点C时停止运动．设运动的时间为x秒，连接DE、DF．
（1）填空：S?ABC?______cm2；
（2）当x?1且点F运动的速度也是1cm/s时，求证：DE?DF；
（3）若动点F以3cm/s的速度沿射线CA方向运动，在点E、点F运动过程中，如果存在某个时间x，使得?ADF的面积是?BDE面积的两倍，请你求出时间x的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）【解析】 【分析】
（1）直接可求△ABC的面积；
（2）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可证△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面积是△BDE的面积的两倍和△BDE与△ADF的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x的值． 【详解】 解：（1）∵S△ABC=∴S△ABC=
4或4. 51?AC×BC 21×4×4=8（cm2） 2故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC，D是AB中点 ∴CD平分∠ACB 又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45° ∴CD=BD 依题意得：BE=CF ∴在△CDF与△BDE中
?BE?CF???B??DCA ?BD?CD?∴△CDF≌△BDE（SAS） ∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90° ∴△ADN≌△BDM（AAS） ∴DN=DM 当S△ADF=2S△BDE．
11×AF×DN=2××BE×DM 22∴|4-3x|=2x
∴
∴x1=4，x2=
4 54或4 5综上所述：x=【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本
题的关键．
6．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．
（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；
（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．
【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 （3）8 【解析】 【分析】
（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM, 根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；
（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°； （3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值． 【详解】
解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0 ∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0 ∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0 ∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0 ∴a＝b＝4
过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM ∴OA平分∠MON
即OA是第一象限的角平分线
（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H
天津市自立中学数学全等三角形中考真题汇编[解析版]
