2.3.2 平面向量基本定理
学习目标 1．了解平面向量基本定理及其几何意义． 2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决几何问题的重要思想方法． 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2使________．不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组____．
预习交流1
在表示向量时，基底唯一吗？有什么特征？ 预习交流2
同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？ 预习交流3
若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是______．
答案：a＝λ1e1＋λ2e2 基底 预习交流1：提示：(1)不唯一．同一平面可以有无数组不同的基底，因此，对不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底给定时，向量的表示方法唯一． (2)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． 预习交流2：提示：可能不同．
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预习交流3：－b＋c
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在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 重点难点 重点：平面向量基本定理的理解和运用． 难点：用平面向量基本定理解几何问题． 疑点：1.基底不唯一，关键是不共线． 2．基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.
1．用基底表示向量
→→
如图所示，在ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d→→表示AB，AD.
→→→→
思路分析：本题直接用c，d表示AB，AD有一定的困难，可以换一个角度，先由AB，AD表→→→→示AN，AM，进而求出AB，AD.
→→→
在ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，
则λ＋μ＝__________.
平面向量基本定理揭示了平面内的每一个向量都可以由一组基底唯一
表示，因此可结合向量的线性运算完成这种向量表示．注意以下几点：
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基底； (2)注意共线向量基本定理的应用；
(3)注意a，b不共线，则0＝0·a＋0·b是唯一的； (4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系；
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系，也是常用技巧． 2．平面向量基本定理的应用
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G；BC，CA，
→
→
→
AB的中点分别为L，M，N，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.
→→→
(1)试用a，b，c表示向量EL，FM，GN；
(2)证明：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分．
思路分析：由题目的已知条件和要求证的问题可知本题主要考查平面向量基本定理及应→→→
用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量EL，FM，GN；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等．
→2→→→如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝AD，AB＝a，AC＝b.
3
(1)用a，b表示AD，AE，AF，BE，BFF； (2)求证：B，E，F三点共线．
(1)利用平面向量基本定理解决平面几何问题的方法：
①选取一组基底；
②根据几何图形的特征用向量的相关知识解题．
(2)证明三点共线的步骤：①先证三点确定的向量共线；②两向量有公共点．
→→→→→→uuuruuur答案：活动与探究1：解：设AB＝a，AD＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，
uuur1uuuur1所以BN＝b，DM＝a，
2
2
1c＝b＋a，??2于是有?1d＝a＋b，??2
2a＝(2d－c)，??3解得?2b＝??3(2c－d).
uuur2uuur2
即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．
33
uuuruuur4
迁移与应用： 解析：如图所示，设AB＝a，AD＝b，
3
uuuruuur1uuur1
则AE＝a＋b，AF＝a＋b，AC＝a＋b.
2
2
uuuruuuruuur∵AC＝λAE＋μAF，
?1??1?∴a＋b＝λ?a＋b?＋μ?a＋b? ?2??2?
1??1??＝?λ＋μ?a＋?λ＋μ?b. 2??2??
1
??2λ＋μ＝1，∴?1
λ＋??2μ＝1，
2
λ＝，??3解得?2
μ＝??3.
4
∴λ＋μ＝. 3
活动与探究2：解：(1)如题图， uuur1uuur1
∵OE＝a，OL＝(b＋c)，
22ruuur1uuuruuu∴EL＝OL?OE＝(b＋c－a)．
2
uuur1uuuur1
同理：FM＝(a＋c－b)，GN＝(a＋b－c)．
22
(2)设线段EL的中点为P1，
ruuuruuur1uuu1OE?OL则OP＝()＝(a＋b＋c)． 124
设FM，GN的中点分别为P2，P3，
uuur1uuur1
同理可求得OP2＝4(a＋b＋c)，OP3＝4(a＋b＋c)．
uuuruuuruuur∴OP1?OP2?OP3.
即EL，FM，GN交于一点，且互相平分． 平行四边形ABGC，
uuuruuur迁移与应用：(1)解：如下图所示，延长AD到G，使AG=2AD，连接BG，CG，得到
uuur则AG=a+b， uuur1uuur1AD?AG?(a?b)，
22uuur2uuur1AE?AD?(a?b)，
33uuur1uuur1AF?AC?b，
22uuuruuuruuur11BE?AE?AB?(a?b)?a?(b?2a)，
33uuuruuuruuur11BF?AF?AB?b?a?(b?2a)．
22uuur2uuuruuuruuur(2)证明：由(1)知，BE?BF，∴BE，BF共线．
3uuuruuur又BE，BF有公共点B，∴B，E，F三点共线．
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于( )．
A．3 B．－3 C．0 D．2
2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )．
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
3．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么( )． A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数 C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
4．在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC中点，则MN＝________.(用a，b表示)
→→→
5．已知O是直线AB外一点，存在实数x，y使得OC＝xOA＋yOB，且x＋y＝1.求证：A，
→→→→→B，C三点共线．
??3x－4y＝6，
答案：1．A 解析：由题意知?
?2x－3y＝3，?
解得?
?x＝6，???y＝3.
∴x－y＝3.
1
2．B 解析：∵3e1－2e2＝－(4e2－6e1)，
2
∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故B中的向量不能作为基底．
3．A 解析：平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的．
uuuuruuuruuuruuurr113uuu14．(b－a) 解析：如下图，MN?MB?BA?AN??b?a?AC??b?a＋424231
(a＋b)＝(b－a)． 44
uuuruuuruuur5．证明：由x＋y＝1，OC?xOA?yOB， uuuruuuruuur得OC?xOA?(1?x)OB，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur所以OC?OB＝x(OA?OB)，即BC?xBA.
所以A，B，C三点共线．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记． 知识精华 技能要领
高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.2平面向量基本定理学案北师大版必修4
