锯成多少段？
【例9］ (★★★) 1、2、3、4,2008这2008个数的最小公倍数等与多少个 积？
【解］：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除 为 10 个2。
【例10］ (★★★★)有15位同学，每位同学都有编号，它们是
1号到15号。1号同学写
了一个自然数, 2 号说：“这个数能被 2 整除”, 3 号说“这个数能被 3 整除”, ,, ,依次下去, 每位同学都说,这个数能被他的编号数整除, 1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学 说得不对, 其余同学都对, 问：(1)说得不对的两位同学,
他们的编号是哪两个连续自然数？
(2)如果告诉你, 1 号写的数是五位数,请求出这个数。 (写出解题过程) 【解］：1)首先可以断定编号是 2, 3, 4, 5, 6, 7 号的同学说的一定都对。不然,其中说
的不对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对, 这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不 对”不符合。因此,这个数能被 2, 3, 4, 5, 6, 7都整除。
其次利用整除性质可知,这个数也能被 2X 5, 3X 4, 2X 7 都整除,即编号为 10, 12, 14 的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是 8 和 9。
2)这个数是 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15的公倍数 由于上述十二个数的 最小公倍数是 60060
因为 60060 是一个五位数, 而十二个数的其他公倍数均不是五位数, 所以 1 号同学写的数就 是 60060。
6 数论的综合题型
【例11］ (★★★★)某住宅区有
12家住户，他们的门牌号分别是
1, 2，…,12.他们的电
话号码依次是 12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已 知这些电话号码的首位数字都小于 6,并且门牌号是 9的这一家的电话号码也能被 13整除, 问：这一家的电话号码是什么数？ 【解］：
设第一户电话号是 x+1第二户x+2，…第12户电话号x+12
根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,…,12)因此x是1 , 2，….12的公倍数［1,2,…..12］=27720所 以 x=27720m
27720m+9是13的倍数，27720除以13余数为4所以4m+9是13的倍数 m=1,14,27…. 第一家电话号码是 27720m+1 m 取 14合适； 因此第一家电话号码是 27720*14+1=388081
［拓展］：写出连续的 11 个自然数,要求第 1 个是 2的倍数,第二个是 3的倍数 ,第11 个是 12的倍数？【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是 下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除， 的两位同学说得不对，其余同学都对，问：
1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，”， 依次
1号作了一一验证，只有编号相邻
（写出解题过程）
（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个
2以外都是奇数质
因数，可见我们只要找需要多少个 2，所以只要看1?2008中2V n谁最大，可见2V 10=1024 , 所以
2与一个奇数的
连续自然数？ （ 2）如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数。
【解】：1）首先可以断定编号是 2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对。不然，其中说 的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不 对”不符合。因此，这个数能被 2，3，4，5，6，7都整除。 其次利用整除性质可知，这个数也能被
2 X 5，3X 4，2 X 7都整除，即编号为 10，12，14
8和9。
的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是 倍数是60060
2）这个数是2，3, 4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数 由于上述十二个数的 最小公
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数， 是 60060。 作业题
（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1，4—类型1;题2，6—类型3;题3，5，8 —类型2;题7—类型2 100这100个自然数中，所有不能被 9整除的数的和是多少？
9+18+27+,,+99=9 X （1+2+,,+11）=495
随意1-100中所有不能被9整除的数的和是 5050-495=4555
2. （★★）某班学生不超过 60人，在一次数学测验中，分数不低于 1，得80?89分的人 数占 2
1，得70?79分得人数占 3
1，那么得70分以下的有 __________ 人。 解：有7 1、
所以1号同学写的数就
1. （★★）在1?
解：1+2+,, +100=5050
90分的人数占7
1、
1，说明总人数一定为 7的倍数、2的倍数、3的倍数，故为[7、2、3] = 42的倍数; 又由于人数不超过 60人，故这班的人数只能为 42人。从而70分以下的有： 妙
3121711 = 1人。 3. (★ ★)自然数 N是一个两位数，它是一个质数，而且 与十位数字都是质数，这样的自然数有 __________ 个。
解：枚举法：23，37，53，73,,有4个4. (★★★)三个自然数，其中每一个数都不能 被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除， 的和的最小值是多少？ 解：这三个自然数最小是 的最小值为31。
那么这样的三个自然数
6, 10, 15 (分别是2X 3,2X 5,3X 5)和
解：设中间一个数
一个数是立方数等价于他
N的个位数字
5、(★★★)五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立
方数(即一个整数的三次方)，这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 全平方数等价于它的各个质因子的幕都是偶数，
的各个质因子的幕都是 3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3 X=36000
为2x那么5个数的和为10x=mA2中间3个数的和为6x=n^3设x=2Ap X 3Aq X 5Ar 再根据一个数是完
因此所求为2x+4=72004 6、(★★)—个数减去 100是一个平方数，减去 63也是一个平方 数，问这个是多少？ 解：A2-B2=(A+B) (A-B) =37=37X 1 ,考虑同奇偶性，可知A=19, B=18, 这样这个数为461。 7> (★★★)从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行.从 左向右1至11报数，报
数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向 右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右
编号是 ______________ .【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第
4题
1
至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列?那么最后留下的同学中，从左边数第一个 人的最初【解】第一次报数后留下的同学， 他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学， 他们最初编号都是 2 11=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是 3 11=1331的倍数?因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 1331 . & (★★★)有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是 而是三个不同的质数?那么，这样的三个质数可以是 b、c为三个不同的质数，根据题意
、
、
.【解】设a、 取 a=3, b=7,得
1994+a+b+C=a- b ? c.
取 a=5, b=7,得 1994+5+7+c=35C,解出
I,
取 a=3, b=5，得 1994+3+5+c=15c,解出 c=143 不是质数； 1994+3+7+c=21c,解出 c=5501 不是整数； c=59.
故5、7、59是满足题意的三个质数.
学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版
