学而思_小升初专项训练—数论篇(1)_教师版
名校真题(数论篇) 1
( 05年人大附中考题)
有 ___ 个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个 数字都能整除它本身。 2
( 05年101中学考题)
那么所得的三位数是原来的数的
9倍,问这
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零, 个两位数是 _____ 。 3
(05年首师附中考题)
- ------- --------- --------- ( )
4 ( 04年人大附中考题)
甲、乙、丙代表互不相同的 3个正整数,并且满足:甲X甲 =乙+乙=丙乂 135 ?那么甲最小是
O
5 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是 ( A、125 B、126 C、127 D、128 答案】 1 2 3
[解] : 6
【解]:设原来数为ab,这样后来的数为 aOb,把数字展开我们可得:100a+b=9 X (10a+b), 【解]:周期性数字,每个数约分后为
)
【附
所以我们可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。
4 【解]:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙 +乙),这样我们分 解135=5 X 3X 3X 3,所以丙最小应该是 2 X 2X 5X 3,所以甲最小是:2X 3X 3X 5=90。 5
【解]:八进制数是由除以 8的余数得来的,不可能出现 8,所以答案是 Do 小升初 专项训练
数论篇 基本公式
1) 已知 b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地,若(a,b)=1,则有 ab|c。
[讲解练习]:若3a75b能被72整除,问a=_____ ,b= __ .(迎春杯试题) 2) 已知 c|ab , (b,c)=1,则 c|a。
3) 唯一分解定理:任何一个大于 1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n= p11aX p22aX ...X pkak (#)
其中p1 该式称为n的质 [讲解练习]:连续3的自然树的积为 210,求这三个数为 ______ . 4)约数个数定理:设自然数 n 的质因子分解式如( #) 那么 n 的约数个数为 d(n)=(a1+1)(a2+1) (ak+1) 所有约数和: ( 1+P1+P12+, p11a)( 1+P2+P22+, p22a), ( 1+Pk+Pk2+, pkak) [讲解练习]:1996不同的质因数有 _ 个,它们的和是____ 。 赛) 5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公约数,那么有ab=[a,b] x (a,b)。 [讲解练习]:两个数的积为 2646,最小公倍数为 126,问这两个数的和为—。 (迎春杯刊 赛第 10 题) 6) 自然数是否能被 3, 4, 25, 8, 125, 5, 7,9, 11, 13 等数整除的判别方法。 [讲解练习]:3aa1能被9整除,问a=_.(美国长岛数学竞赛第三试第 7) 平方数的总结: 1 :平方差 A2 -B2 =(A+B) (A-B),其中我们还得注意 A+B, A-B同奇偶性。 -72 +62 -52 +42 -32 +22 -12 = 。 2:约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。 1?100中约数个数为奇数个的所有数和为—。 3:质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。 [讲解练习]:a与45的乘积一个完全平方数,问 a最小是—。 8) 十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。 9) 周期性数字: abab=abx 101 [讲解练习]:2005x 20062006-2006 x 20052005= ___ 。四、典型例题解析 1 数的整除 【例1】(★★★)将4个不同的数字排在一起,可以组成 24个不同的四位数(4X 3X 2 x 约数个数为 3的是质数的平方。 [讲解练习 ]: [讲解练习]:82 3题) (1996年小学数学奥林匹克初 1=24)。将这 24个四位数按从小到大的顺序排列的话, 第二个是 5的倍数;按从大到小排列 的话,第二个是不能被 4 整除的偶数; 按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。请求出这 24 个四位数中最大的一个。 【例2】(★★★)—( 5位数,它的各个位数字和为 43,且能被11整除,求所有满足条件 的 5 位数? 【例3】(★★★)由1 , 3, 4, 5, 7, 8这六个数字所组成的六位数中,能被 大的数是多少? 【例4】(**) 一个学校参加兴趣活动的学生不到 100人,其中男同学人数超过总数的 4/7 , 女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人? 2 质数与合数(分解质因数) 11整除的最 【例5】(★★★) 2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,请问□里最小是几? [拓展]:2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,且是7的倍数,问□里最小是 ______ 【例6】(★★★) 03年101中学招生人数是一个平方数, 04年由于信息发布及时, 04年的招生人数比 03年多了 101 人,也是一个平方数,问 04年的招生人数? 3 约数和倍数 【例7】(★★★)从一张长 2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能 大的正方形, 如果剩下的部分不是正方形, 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的 正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米? 【例8】(★★★) 一根木棍长 100米,现从左往右每 6米画一根标记线,从右往左每 作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米? 【例9】(★★★) 1、2、3、4, 2008这2008个数的最小公倍数等与多少个 积? 【例10】(★★★★)有15位同学,每位同学都有编号,它们是 1号到15号。1号同学写 了一个自然数, 2 号说:“这个数能被 2 整除”, 3 号说“这个数能被 3 整除”, ,, ,依次下去, 每位同学都说,这个数能被他的编号数整除, 1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学 说得不对, 其余同学都对, 问:(1)说得不对的两位同学, 他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你, 1 号写的数是五位数,请求出这个数。 (写出解题过程) 4 数论的综合题型 【例11】(★★★★)某住宅区有 12家住户,他们的门牌号分别是 1, 2,…,12.他们的电 话号码依次是 12 个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除,已 知这些电话号码的首位数字都小于 6,并且门牌号是 9的这一家的电话号码也能被 13整除, 问:这一家的电话号码是什么数? 【例12】(★★★★)有15位同学,每位同学都有编号,它们是 1号到15号。1号同学写 了一个自然数, 2 号说:“这个数能被 2 整除”, 3 号说“这个数能被 3 整除”, ,, ,依次下去, 每位同学都说,这个数能被他的编号数整除, 1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学 说得不对, 其余同学都对, 问:(1)说得不对的两位同学, 他们的编号是哪两个连续自然数? (2)如果告诉你, 1 号写的数是五位数,请求出这个数。 (写出解题过程) 1 . (★★)在1?100这100个自然数中,所有不能被 9整除的数的和是多少? 2. (★★)某班学生不超过 60人,在一次数学测验中,分数不低于 1,得 80?89分的人 数占 2 1,得 70?79分得人数占 3 1 ,那么得 70 分以下的有 ________ 人。 3 . (★★)自然数 N是一个两位数,它是一个质数,而且 字都是质数,这样的自然数有 _________ 个。 4. (★★★)三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的 乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少? 5、(★★★)五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数 数的三次方),这样一组数中的最大数的最小值是多少? (即一个整 6、(★★) 一个数减去 100 N的个位数字与十位数 90分的人数占7 作业题 2与一个奇数的 5米 是一个平方数,减去 63也是一个平方数,问这个是多少? 7、(★★★)从左向右编 号为 1 至1991 号的 1991 名同学排成一行.从左向右 1 至 11 报数,报数为 11 的同学原地 不动, 其余同学出列; 然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数, 报数为 11 的同学留下, 其 余的同学出列;留下的同学第三次从左向右 1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出 ______ ? . 8、(★★ 1,而是三个不同的质 列?那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是 数.那么,这样的三个质数可以是 四、典型例题解析 1 数的整除 【例1】(★★★)将4个不同的数字排在一起,可以组成 24个不同的四位数(4X 3X 2 X 、 、 ★)有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是 1=24)。将这 24个四位数按从小到大的顺序排列的话, 第二个是 5的倍数; 按从大到小排列 的话,第二个是不能被 4 整除的偶数; 按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。请求出这 24个四位数中最大的一个。 【解】:不妨设这 4 个数字分别是 a>b>c>d 那么从小到大的第 5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;从 大到小排列的第 2个是abdc,它是不能被4整除的偶数;所以c是偶数,cv b=5, c=4或2从 小到大的第二十个是 adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4; 因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的 末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾。因此 这24个四位数中最大的一个显然是 最大的一个是 7543。 【例2】(★★★)—( 5位数,它的各个位数字和为 43,且能被11整除,求所有满足条件 的 5 位数? [思路 ]:现在我们有两个入手的选择, 可以选择数字和, 也可以选择被 11 整除, 但我们发现被 11 整除性质 的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手 【解】:5位数数字和最大的为 9X 5=45,这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8,8。这样我们接着用 11 的整除特征, 发现符合条件的有 99979,97999,98989 符合条件。 【例3】(★★★)由1 , 3, 4 , 5 , 7 , 8这六个数字所组成的六位数中,能被 大的数是多少? 【解】:各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大 首位必须是 8 第 2位是 7 14-8=6 那么第 3位一定是 5 第 5位为 1 该 数最大为 875413 。 11整除的最 d=3,从而a=d+4=3+4=7。 abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中 [拓展]:一个三位数,它由 0,1,2,7,8组成,且它能被 9 整除,问满足条件的总共有几 个? 【例4】**) 一个学校参加兴趣活动的学生不到 女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人? 理工附入学测试题 【解】:男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的 3/7 ,这样女生的范围在 2/5?3/7之间, 同理可得男生在4/7?3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在 28/70?30/70之间, 所以只能是 29 人,这样男生为 41 人。 2 质数与合数(分解质因数) 【例5】(★★★) 2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,请问□里最小是几? 【解】:先分析1 X 2X 3X 4XX 10的积的末尾共有多少个 0。由于分解出2的个数比5多, 这样我们可以得 出就看所有数字中能分解出多少个 5这个质因数。而能分解出 5的一定是 5的倍数。注意: 5的倍数能分解一个 5, 25的倍数分解出 2个 5, 125的倍数能分解出 3 个 5,, 最终转化成 计数问题,如 5 的倍数有 [10/5]=2 个。 2005=5 X 401 684=2X 2X 171 375=3X 5X 5X 5 前三个数里有 2 个质因子 2, 4 个质因子 5,要使得乘积的最后 4 位都是 0 应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此□里最小是 4。 [拓展]:2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,且是7的倍数,问□里最小是 ______ 【例6】(★★★) 03年101中学招生人数是一个平方数, 04年由于信息发布及时,04年 的招生人数比 03 年多了 101 人,也是一个平方数,问 04年的招生人数? 【解】:看见两个平方数,发现跟平方差相关,这样我们大胆的设 03 年的为 A2, 04年的为 B2,从中我们发现 04年的比03年多101人,这样我们可以列式子 B2- A2=101此后思路要 很顺,因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开, 所以 B2- A2=(A+B)(A-B) =101,可见右边的数也要分成 2个数的积,还得考虑同奇偶性, 但101是个质数,所以101只能分成101 X 1,这样A+B=101, A-B=1,所以A=50, B=51,所 以 04年的招生人数为 51X51=2601。 [拓展]:一个数加上 10,减去 10都是平方数,问这个数为多少?(清华附中测试题) 5 约数和倍数 【例7】(★★★)从一张长 2002毫米,宽847毫米的长方形纸片上,剪下一个边长尽可能 大的正方形, 如果剩下的部分不是正方形, 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的 正方形。按照上面的过程不断的重复,最后剪得的正方形的边长是多少毫米? 【解】:边长是 2002 和 后剪得的正方形的边长是 2002 - 847=2,308 847 - 308=2, 231 231=1, 77 847 的最大公约数,可用辗转相除法求得 77 毫米。 辗转相除示例: 求 2 个数的最大公约数,就用大数除以小数 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308 - 231 - 77=3 5米 2002,847) =77 所以最 100人,其中男同学人数超过总数的 4/7 , 【来源】:06 年 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 【例8】(★★★) 一根木棍长 100米,现从左往右每 6米画一根标记线,从右往左每 作一根标记线,请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米? 【解】: 100 能被 5 整除,所以每 5 米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我 们都以从左往右作,可见转化成讨论 5,6 的最小公倍数中的情况,画图可得有 2 根距离为 4米,所以30,60,90里各有2条,但发现最后96和100也是距离4米,所以总共2 X 3+仁7。 [拓展 ]:在一根长木棍上,有三种刻度线 .第一种刻度线将木棍分成十等份;第二种将木棍分 成十二等份;第三种将木棍分成十五等份 .如果沿每条刻度线将木棍锯断,那么木棍总共被
学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版
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