学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版

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学而思_小升初专项训练—数论篇（1）_教师版

名校真题（数论篇） 1

（ 05年人大附中考题）

有 ___ 个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2

（ 05年101中学考题）

那么所得的三位数是原来的数的

9倍，问这

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，个两位数是 _____ 。 3

（05年首师附中考题）

- ------- --------- --------- （）

4 （ 04年人大附中考题）

甲、乙、丙代表互不相同的 3个正整数，并且满足：甲X甲 =乙+乙=丙乂 135 ?那么甲最小是

5 （02年人大附中考题）下列数不是八进制数的是（ A、125 B、126 C、127 D、128 答案】 1 2 3

［解］ : 6

【解］:设原来数为ab,这样后来的数为 aOb,把数字展开我们可得：100a+b=9 X （10a+b）, 【解］:周期性数字，每个数约分后为

）

【附

所以我们可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。

4 【解］:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙 +乙），这样我们分解135=5 X 3X 3X 3,所以丙最小应该是 2 X 2X 5X 3,所以甲最小是：2X 3X 3X 5=90。 5

【解］:八进制数是由除以 8的余数得来的，不可能出现 8，所以答案是 Do 小升初专项训练

数论篇基本公式

1）已知 b|c,a|c,则［a,b］|c,特别地，若（a,b）=1,则有 ab|c。

［讲解练习］:若3a75b能被72整除，问a=_____ ,b= __ .（迎春杯试题） 2）已知 c|ab , （b,c）=1,则 c|a。

3）唯一分解定理：任何一个大于 1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11aX p22aX ...X pkak （#）

其中p1

该式称为n的质

［讲解练习］:连续3的自然树的积为 210,求这三个数为 ______ . 4）约数个数定理：设自然数

n 的质因子分解式如（ #）

那么 n 的约数个数为 d（n）=（a1+1）（a2+1）（ak+1）

所有约数和：（ 1+P1+P12+, p11a）（ 1+P2+P22+, p22a）, （ 1+Pk+Pk2+, pkak）［讲解练习］：1996不同的质因数有 _ 个，它们的和是____ 。赛）

5）用［a,b］表示a和b的最小公倍数，（a,b）表示a和b的最大公约数，那么有ab=［a,b］ x （a,b）。［讲解练习］:两个数的积为 2646，最小公倍数为 126，问这两个数的和为—。（迎春杯刊赛第 10 题）

6）自然数是否能被 3， 4， 25， 8， 125， 5， 7,9， 11， 13 等数整除的判别方法。［讲解练习］:3aa1能被9整除，问a=_.（美国长岛数学竞赛第三试第 7）平方数的总结： 1 ：平方差 A2 -B2

=（A+B）（A-B）,其中我们还得注意 A+B, A-B同奇偶性。 -72 +62 -52 +42 -32 +22 -12 = 。

2:约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。 1?100中约数个数为奇数个的所有数和为—。 3:质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。

［讲解练习］:a与45的乘积一个完全平方数，问 a最小是—。 8）十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化。 9）周期性数字: abab=abx 101

［讲解练习］:2005x 20062006-2006 x 20052005= ___ 。四、典型例题解析 1 数的整除

【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成

24个不同的四位数（4X 3X 2 x

约数个数为 3的是质数的平方。［讲解练习］:

［讲解练习］:82

3题）

（1996年小学数学奥林匹克初

1=24）。将这 24个四位数按从小到大的顺序排列的话, 第二个是 5的倍数；按从大到小排列的话,第二个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。请求出这 24 个四位数中最大的一个。

【例2】（★★★）—（ 5位数，它的各个位数字和为 43,且能被11整除，求所有满足条件的 5 位数？

【例3】（★★★）由1 , 3, 4, 5, 7, 8这六个数字所组成的六位数中，能被大的数是多少？

【例4】（**）一个学校参加兴趣活动的学生不到 100人，其中男同学人数超过总数的 4/7 , 女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？ 2

质数与合数（分解质因数）

11整除的最

【例5】（★★★） 2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,请问□里最小是几？［拓展］:2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是 ______

【例6】（★★★） 03年101中学招生人数是一个平方数， 04年由于信息发布及时， 04年的招生人数比 03年多了 101 人，也是一个平方数，问 04年的招生人数？ 3 约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长 2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

【例8】（★★★）一根木棍长 100米，现从左往右每 6米画一根标记线，从右往左每作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米？

【例9】（★★★） 1、2、3、4, 2008这2008个数的最小公倍数等与多少个积？

【例10】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是

1号到15号。1号同学写

了一个自然数， 2 号说:“这个数能被 2 整除”， 3 号说“这个数能被 3 整除”， ,, ，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除， 1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问:（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你， 1 号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程） 4 数论的综合题型

【例11】（★★★★）某住宅区有 12家住户，他们的门牌号分别是

1, 2，…,12.他们的电

话号码依次是 12 个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于 6，并且门牌号是 9的这一家的电话号码也能被 13整除，问:这一家的电话号码是什么数？

【例12】（★★★★）有15位同学，每位同学都有编号，它们是

1号到15号。1号同学写

1，得 70?79分得人数占 3

1 ，那么得 70 分以下的有 ________ 人。

3 . （★★）自然数 N是一个两位数，它是一个质数，而且

字都是质数，这样的自然数有 _________ 个。

4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？

（即一个整

6、（★★）一个数减去 100

N的个位数字与十位数 90分的人数占7

作业题 2与一个奇数的

5米

是一个平方数，减去 63也是一个平方数，问这个是多少？ 7、（★★★）从左向右编

号为 1 至1991 号的 1991 名同学排成一行．从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右

1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出

______ ? ．

8、（★★

1,而是三个不同的质

列?那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是数．那么，这样的三个质数可以是

四、典型例题解析 1 数的整除

【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成

24个不同的四位数（4X 3X 2 X

、

★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积.其中只有三个数不是

1=24）。将这 24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。请求出这 24个四位数中最大的一个。【解】：不妨设这 4 个数字分别是 a>b>c>d

那么从小到大的第 5个就是dacb，它是5的倍数，因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;从大到小排列的第 2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，cv b=5, c=4或2从小到大的第二十个是 adbc，第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4;

因为a>b，所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数，和条件矛盾。因此这24个四位数中最大的一个显然是最大的一个是 7543。

【例2】（★★★）—（ 5位数，它的各个位数字和为 43,且能被11整除，求所有满足条件的 5 位数？［思路］：现在我们有两个入手的选择, 可以选择数字和, 也可以选择被 11 整除, 但我们发现被 11 整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手

【解】：5位数数字和最大的为 9X 5=45，这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8，8。这样我们接着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989 符合条件。【例3】（★★★）由1 , 3, 4 , 5 , 7 , 8这六个数字所组成的六位数中，能被大的数是多少？

【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大首位必须是 8 第 2位是 7 14-8=6 那么第 3位一定是 5 第 5位为 1 该数最大为 875413 。

11整除的最

d=3，从而a=d+4=3+4=7。

abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3所以这24个四位数中

［拓展］：一个三位数，它由 0，1，2，7，8组成，且它能被 9 整除，问满足条件的总共有几个？【例4】**）一个学校参加兴趣活动的学生不到女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？理工附入学测试题

【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的 3/7 ,这样女生的范围在 2/5?3/7之间，同理可得男生在4/7?3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在 28/70?30/70之间，所以只能是 29 人，这样男生为 41 人。 2 质数与合数（分解质因数）

【例5】（★★★） 2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0,请问□里最小是几？

【解】：先分析1 X 2X 3X 4XX 10的积的末尾共有多少个 0。由于分解出2的个数比5多, 这样我们可以得

出就看所有数字中能分解出多少个 5这个质因数。而能分解出 5的一定是 5的倍数。注意： 5的倍数能分解一个 5， 25的倍数分解出 2个 5， 125的倍数能分解出 3 个 5,, 最终转化成计数问题，如 5 的倍数有［10/5］=2 个。

2005=5 X 401 684=2X 2X 171

375=3X 5X 5X 5 前三个数里有 2 个质因子 2， 4 个质因子 5，要使得乘积的最后 4 位都是 0

应该有4个质因子2和4个质因子5,还差2个质因子。因此□里最小是

4。

［拓展］:2005 X 684 X 375 X □最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是 ______ 【例6】（★★★） 03年101中学招生人数是一个平方数， 04年由于信息发布及时，04年的招生人数比 03 年多了 101 人，也是一个平方数，问 04年的招生人数？【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设

03 年的为 A2， 04年的为

B2,从中我们发现 04年的比03年多101人，这样我们可以列式子 B2- A2=101此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以 B2- A2=（A+B）（A-B） =101，可见右边的数也要分成 2个数的积，还得考虑同奇偶性，但101是个质数，所以101只能分成101 X 1,这样A+B=101, A-B=1，所以A=50, B=51,所以 04年的招生人数为 51X51=2601。［拓展］：一个数加上 10,减去 10都是平方数,问这个数为多少？（清华附中测试题） 5 约数和倍数

【例7】（★★★）从一张长 2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形, 如果剩下的部分不是正方形, 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】：边长是 2002 和

后剪得的正方形的边长是 2002 - 847=2,308 847 - 308=2, 231 231=1, 77

847 的最大公约数，可用辗转相除法求得 77 毫米。辗转相除示例：

求 2 个数的最大公约数，就用大数除以小数

用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止

308 - 231 - 77=3

5米

2002,847) =77 所以最

100人，其中男同学人数超过总数的 4/7 ,

【来源】：06 年

最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

【例8】（★★★）一根木棍长 100米，现从左往右每 6米画一根标记线，从右往左每作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米？