四边形．
∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3）， ∴点M的坐标为（1，6）； 当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE， ∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0， ∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2， ∴不存在．
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F． 设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
，解得：
，
来源学+科+网∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3）， ∴点F的坐标为（t，﹣t+3）， ∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t， ∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为
．
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）， ∴线段BC=
=3
，
∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E． 求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
来源学科网ZXXK]
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ， ∵PF∥BC， ∴∠DFP=∠ADF， ∴∠DFQ=∠ADF， ∴△DEF是等腰三角形，
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC， ∴∠P′DC=∠F′DB， 由旋转的性质可知： △DP′F′≌△DPF， ∵PF∥BC， ∴△DPF∽△DCB， ∴△DP′F′∽△DCB ∴
，
∴△DP'C∽△DF'B
②当∠F′DB=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=BD， ∴
=，
=，
∴tan∠DBF′=当∠DBF′=90°， 此时DF′是斜边，
即DF′＞DB，不符合题意， 当∠DF′B=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=BD， ∴∠DBF′=30°， ∴tan∠DBF′=
【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知
识．
2018年郴州市中考数学试卷及答案解析
