2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
22
2.设a,b∈R,ab≠0,那么直线ax-y+b=0和曲线bx+ay=ab的图形是
yyyyOxOxOxOxA.2
3.过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A、B两点,弦AB的中垂线与x轴交于点P,则线段PF的长等于
16816(A) (B) (C) 3 (D) 83
333
5?2????4.若x∈[- ,- ],则y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是
12336612111112
(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 3
5665
B.C.D.二.填空题(每小题9分,共54分)
32
7.不等式|x|-2x-4|x|+3<0的解集是 .
x2y2
8.设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△
94
PF1F2的面积等于 .
2
9.已知A={x|x-4x+3<0,x∈R},
B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}
若A?B,则实数a的取值范围是 .
35
10.已知a,b,c,d均为正整数,且logab=,logcd=,若a-c=9,则b-d= .
2411.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的
四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .
12. 设Mn={(十进制)n位纯小数0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},
SnTn 是Mn中元素的个数,Sn是Mn中所有元素的和,则lim= .
n→∞Tn
五、(本题满分20分)
15.一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A?刚好与点A重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A?取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.
加试题
(10月12日上午10:00?12:00)
一、(本题50分)
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间.在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC. 求证:∠DBQ=∠PAC.
二、(本题50分)
设三角形的三边长分别是正整数l,m,n.且l>m>n>0.
?3??3??3?
已知?4?=?4?=?4?,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角
?10??10??10?
lmn形周长的最小值.
三、(本题50分)
12由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形,其中n=q+q+1,l≥q(q+1)2+1,
2
q≥2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q+2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形).
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
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