第四讲 中考压轴题十大类型之 三角形存在性问题
板块一、等腰三角形存在性
1. （2011江苏盐城）如图，已知一次函数y??x?7与正比例函数y?轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
3x的图象交于点A，且与x4y y=-x+7
y 4y=x3y=-x+7A
4y=x3AOBxO（备用图）
Bx11
2. （2009湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?124x?x?10与x轴的交点为点189A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC．现有两动点P，
Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t(单位：秒)
(1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
(2)当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
9(3)当0?t?时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
2(4)当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
板块二、直角三角形
3. （2009四川眉山）如图，已知直线y?y?1x?1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212x?bx?c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)． 2（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．
4. （2010广东中山）如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、
N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同
12
一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP；
（2）设0?x?4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
DPMAQFWCNBDFCPANMQWB板块三、相似三角形存在性
5. （2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx
?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）直接填写：a= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
13
（备用图）
三、测试提高
1. （2009广西钦州）如图，已知抛物线y?为（－1，0），过点C的直线y?32x?bx?c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标43x?3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P4t作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0?t?1．
（1）填空：点C的坐标是_____，b＝_____，c＝_____； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
第五讲 中考压轴题十大类型之 四边形存在性问题
31. （2009黑龙江齐齐哈尔）直线y??x?6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点
4出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线
O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
14
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
48（3）当S?时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶
5点M的坐标．
OQAxPBy2. （2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(?4，0)，B(0，?4)，C(2，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y??x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
15
中考数学压轴题十大类型经典题目2015
