2020高考数学二轮复习专题讲练13解析几何大
题解答题专项（最新，超经典）
大题增分专项 解析几何大题考向探究
全国卷3年考情分析
考|题|细|目|表 年份 2019 全国Ⅰ卷 全国Ⅱ卷 全国Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关系·T21 直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明·T20 直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程·T20 直线方程、直线轨迹方程、直线与抛物线的位置与椭圆的位置关关系·T19 系·T21 直线的方程、直直线的方程、直2018 线与椭圆的位置线与抛物线的位关系、证明问题·T19 椭圆的标准方2017 程、直线与椭圆的位置关系、定点问题·T20 命|题|规|律 解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。试题难度较大，多以压轴题出现。
解答题的热点题型有：
1．直线与圆锥曲线的位置关系。
2．圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。 3．轨迹方程及探索性问题的求解。
置关系、圆的方程·T19 点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等·T20 考点一 求值与证明问题
【例1】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为3
F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。
2(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若AP
→＝3PB→，求|AB|。 解 设直线l：y＝3
2x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)。(1)由题设得F??3?3?4，0??
，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由题设可得x＋x5
12＝2。
?由??y＝32x＋t，
可得9x2?＋12(t－1)x＋4t2＝0，?y2＝3x，则x＋x4?t－1?12＝－3。 从而－4?t－1?57
3＝2，得t＝－8。 所以l的方程为y＝37
2x－8。 (2)由AP
→＝3PB→可得y1＝－3y2。 ?由?3?y＝2x＋t，?
可得y2－2y＋2t＝0。 ?y2＝3x，所以y1＋y2＝2。从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3。
代入C的方程得x11＝3，x2＝3。
413故|AB|＝3。
求值与证明问题大多联系圆锥曲线的定义、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，有时还要注意运用平面几何的知识。
【变式训练1】 (2019·福州市模拟)已知点
?
A?1，－?
3?
?在椭2?
x2y2x3y圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：a2－2b2＝11
的斜率与直线OA的斜率乘积为－4。
(1)求椭圆C的方程；
3(2)不经过点A的直线y＝2x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于M，N两点。求证：|AM|＝|AN|。
解 (1)由题意知，
32b2b21
kOA·kl＝－2·＝－＝－。 22a43a
即a2＝4b2 ①， 13
又a2＋4b2＝1 ②，
??a＝2，
所以联立①②，解得?
??b＝1，
x22
所以椭圆C的方程为4＋y＝1。 (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
?y＝23x＋t，
则R(－x，－y)，由?x
?4＋y＝1，
1
1
2
2
得x2＋3tx＋t2－1＝0， 所以Δ＝4－t2>0，即－2 证法一：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ、AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0。 33y2＋2y1－2 由题意知，kAQ＋kAR＝＋ x2－1x1＋1 ? ?y2＋???? ?3?3? ??x1＋1?＋?y1－??x2－1?2?2?? ?x1＋1??x2－1? ＝?333?3? ??x1＋1?＋?x1＋t－??x2－1?x2＋t＋22?2??2 ＝ ?x1＋1??x2－1? 3x1x2＋t?x1＋x2?＋3＝ ?x1＋1??x2－1? 3?t2－1?＋t?－3t?＋3＝＝0。 ?x1＋1??x2－1?所以|AM|＝|AN|。 证法二：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与3y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－2，即AS垂直平分MN即可。 直线AQ与AR的方程分别为 3y＋322 lAQ：y＋2＝(x－1)， x2－13－y1＋23lAR：y＋2＝(x－1)， －x1－13－y2－2 3分别令x＝0，得yM＝－2， x2－13 －y1＋2 3 yN＝－2， x1＋1 33－y2－2－y1＋2 所以yM＋yN＝＋－3 x2－1x1＋1 ? ?－? ?33?33? ??x2－1?＋?－x2－t－??x1＋1?x1－t＋22?22??－3 ?x1＋1??x2－1? ＝ －3x1x2－t?x1＋x2?－3＝－3 ?x1＋1??x2－1?－3?t2－1?－t?－3t?－3＝－3 ?x1＋1??x2－1?＝－3，
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