§7.4 基本不等式及其应用
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.
1．基本不等式：ab≤
a＋b 2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba
(2)＋≥2(a，b同号)． ab(3)ab≤?
a＋b?2
?2? (a，b∈R)．
a2＋b2?a＋b?2(4)≥2?2? (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4
概念方法微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 1
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
x
11
提示 不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最
xx小值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x)＝cos x＋
π4
0，?的最小值等于4.( × ) ，x∈??2?cos x
xy
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )
yx
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第七章 7.4基本不等式及其应用
