复习课
1.二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
22222(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x1＋y21＋x2＋y2≥?x1－x2?＋?y1－y2?.
2.一般形式的柯西不等式
22222设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立. 3.排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
一、利用柯西不等式证明不等式
11111111
例1 已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：2＋2＋2＋2＞＋＋＋. abcdabbccdda证明 由柯西不等式知，
?12＋12＋12＋12?·?12＋12＋12＋12?≥?1＋1＋1＋1?2， ?abcd??bcda??abbccdda?11111111于是2＋2＋2＋2≥＋＋＋.①
abcdabbccdda1111abcd
等号成立?＝＝＝
1111bcdabcda
?＝＝＝?a＝b＝c＝d. abcd
又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立. 11111111即2＋2＋2＋2＞＋＋＋. abcdabbccdda
反思感悟 利用柯西不等式证题的技巧
2＋a2＋…＋a2)·2222(1)柯西不等式的一般形式为(a12n(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)(ai，
bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解.
(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会.
4111112
跟踪训练1 若n是不小于2的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜.
72342n－12n2
11111
证明 1－＋－＋…＋－ 2342n－12n111111
1＋＋＋…＋?－2?＋＋…＋? ＝?2n??242n??23＝
111
＋＋…＋，
2nn＋1n＋2
41112
所以求证式等价于＜＋＋…＋＜.
7n＋1n＋22n2由柯西不等式，有
?1＋1＋…＋1?[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2， 2n??n＋1n＋2
111n2
于是＋＋…＋＞
2n?n＋1?＋?n＋2?＋…＋2nn＋1n＋2＝
2n224
＝≥＝，
1173n＋1
3＋3＋n2
111
又由柯西不等式，有＋＋…＋
2nn＋1n＋2＜＜
?12＋12＋…＋12?11?2
－＝. n??n2n?2
?1＋1＋…＋1?
?2n?2???n＋1?2?n＋2?2
4111112
综上，＜1－＋－＋…＋－＜.
72342n－12n2二、利用排序不等式证明不等式
aA＋bB＋cC例2 设A，B，C表示△ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：a＋b＋cπ≥. 3
证明 不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C) aA＋bB＋cCπ＝π(a＋b＋c)，得≥.
3a＋b＋c
反思感悟 利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进
2020届高中数学分册同步讲义(选修4-5) 第3讲 复习课
