学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
直线MTA方程为：
y?0x?3y?0x?31??，即y?x?1，直线NTB方程为：，
52012?33??0?3?0933?x?71055?即y?x?．联立方程组，解得：?10，所以点T的坐标为(7,)．
y?362?3?（3）曲线系法，详细过程参考上一讲，这里介绍极点极线原理：点T的坐标为(9,m)．当t=9时，点T的坐标为，连接MN交AB于点，由极点极线的定义可知，点T对应的极线经过点K，而点T的对应（9，m）的极线方程为
9·xm·y+=1，该直线即为MN与直线AB交点的轨迹，当y=0，得x=1，故直线MN必经95过x轴上的定点K(1,0)．
3yy313．【解析】（1）设C(x,y)，则依题意得kACkBC??，又A(?2,0)，B(2,0)，所以有??(y?0)，
4x?2x?24x2y2x2y2整理得??1(y?0)，故动点C的轨迹方程为??1(y?0)．
4343（2）法一：设直线l:y?kx?m，与3x2?4y2?12联立，得3x2?4(kx?m)2?12，即
(3?4k2)x2?8kmx?4m2?12?0，依题意△?(8km)2?4(3?4k2)(4m2?12)?0，即3?4k2?m2， 设直线l与动点C的轨迹交于点(x1，y1)，(x2，y2)，则x1?x2??P(?4km,2?8km?4km，得， x?x?12223?4k3?4k3?4k3m?4k322，而，得3?4k?m)P(,)，又Q(4,4k?m)，设R(t,0)为以PQ为直线的圆上一
3?4k2mm4k34k?t,)(4?t,4k?m)?0，整理得(t?1)?t2?4t?3?0， mmm点，则由RPRQ?0，得(?由
k的任意性得t?1?0且t2?4t?3?0，解得t?1，综上知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0)． m3?3x0xxyy法二：设P(x0，y0)，则曲线C在点P处切线PQ:0?0?1，令x?4，得Q(4,)，设R(t,0)，则
y043由RPRQ?0，得(x0?t)(4?t)?3?3x0?0，即(1?t)x0?t2?4t?3?0，由x0的任意性得1?t?0且t2?4t?3?0，解得t?1，综上知，以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0)．
14．【解析】（1）由题意知AB?OP，?kABkOP??1，y?1??2(x?2)，即2x?y?5?0；
kOP?1，?kAB??2，因此弦AB所在直线方程为2（2）如图，设点O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2，则d12?d22?|OP|2?5，
?S四边形EGFH?|EF|?2r2?d12?28?d12，|GH|?2r2?d22?28?d22．1EF?GH?2?8?d12??8?d22? 25121?2(8?d12)(d12?3)?2?d14?5d12?24?2?(d12?)2??11，
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当d1?10?d2时取等号．?四边形EGFH面积的最大值为11； 2t（3）证明：由题意可知C、D两点均在以OQ为直径的圆上，设Q(t,?4)，则该圆的方程为
21122x(x?t)?y(y?t?4)?0，即：x2?tx?y2?(t?4)y?0．又C、D在圆O:x?y?8上，?直线CD的
221??x?111?x?y?0?直线CD过定点(1,?2)．方程为tx?(t?4)y?8?0，即t(x?y)?4(y?2)?0，由?，得， 2?y??222???y?2?0
y2x215．【解析】（1）椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，由已知得b?1，c?1，
aby2所以a?2，椭圆的方程为?x2?1，
2当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y?kx?1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
2k1将直线l的方程代入椭圆的方程化简得(k2?2)x2?2kx?1?0，则x1?x2??2，x1x2??2，
k?2k?22k21 ?|CD|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2(?2)?42k?2k?222(k2?1)3??2，解得k??2．?直线l的方程为y??2x?1；
k2?22（2）此题可以用常规方法和曲线系法，具体内容请参考上一讲，本专题研究一下其极点极线性质，对椭圆
0×y1y2+mx=1，若以点P为极点，则其对应的极线过点Q,设P(m,0)，其极线方程为即x=，?x2?1，
2m211故可设点Q的坐标为(,yQ)，所以OP?OQ=(m,0)?(,yQ)=1，即OP?OQ为定值1．
mmx2y216．【解析】（1）椭圆C:2?2?1(a?b?0)焦点在x轴上，且过点Q(0,3)，?b?3
abxy设△PF1F2内切圆的半径为r，点P的坐标为(x0，y0)，则△PF1F2重心G的坐标为(0,0)，
3311IG//F1F2，?|y0|?3r．由△PF1F2面积可得(|PF1|?|PF2|?|F1F2|)r?|F1F2||y0|，
22x2y2即a?2c，(c?a?b)，解得a?2,b?3，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为??1
43xxyyxxyy（2）设M(x1，y1)，A(x2，y2)，B(x3，y3)则切线MA，MB的方程分别为2?2?1，3?3?1
4343xxyyxxyyxxyy点M在两条切线上，?21?21?1，31?31?1，故直线AB的方程为1?1?1．
43434322
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又
点M为直线x?y?4上，?y1?x1?4，即直线AB的方程可化为
x1x(x1?4)y??1，整理得43?x?1?3x?4y?03?解得?(3x?4y)x1?16y?12，由?3，因此，直线AB过定点(1,?)．
y??4?16y?12?0??4?y?kx?p217．【解析】（1）设直线AB的方程为y?kx?p，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组?2，
x?2py?2消y可得x2?2pkx?2p3?0，?x1x2?2p3，x1?x2?2pk，?y1y2?k2x1x2?kp2(x1?x2)?p4?p4， y2y1p4直线OA、OB的斜率分别为k1、k2，k1k2?1，??1，即3?1，解得p?2，
2px2x1证明（2）由（1）可知x2?4y，M(0,?1)，可设直线y?kx?4，由（1）可得y1y2?16 12设过点M与x2?4y的相切的切线的坐标为(x0，x0)，
4?T1(?4,4)，T2(4,4)，?直线TT12的方程为y?4，
12x0?4114，解得x0??4， y??x，?k?x0?22x0?y?4888由?，解得x?，y?4，?N(，4)，MA?(x1，y1?4)，MN?(，8)，MB?(x2，y2?4)，
kkk?y?kx?488MA??MN，MB??MN，?(x1，y1?4)??(，8)，(x2，y2?4)??(，8)，
kk8?8????x1??x2???，?，?y1y2?(8??4)(8??4)?64???32??32??16?16?2???????0， kk??y1?4?8???y2?4?8?1111???2，故：?为定值．
????极点极线原理：第（2）问中，由于切点弦T1T2所在的直线为点M(0,?p)所对应的极线，故其方程为0×y?p2，即y?p2?4．也属于典型的阿基米德三角形问题。 x?2p?2
?c2?2?x2y21?12218．（1）由题意得?2?2?1，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为??1．
42ab??c2?a2?b2?（2）解法1：（定比点差法，参考秒1）设点Q,A,B的坐标分别为(x,y),(x1,y1),(x2,y2)．
2由题设知AP,PB,AQ,QB均不为零，记??APPB?AQQB,则??0，且??1．
又A,P,B,Q四点共线，从而AP???PB,AQ??QB．于是4?22x1??2x2?4x ① 从而21??x1??x2y??y2x??x2y??y2． ,1?1,x?1,y?11??1??1??1??
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22y1??2y2?y ②
1??2又点A,B在椭圆C上，
2222?2y1?4 ③ x2?2y2?4 ④ 即 x1由①?②?2并结合③，④式，得4x?2y?4．即点Q(x,y)总在定直线2x?y?2?0．
极点极线原理：：已知此极线方程为
PBPA?QBQA，说明点P,Q关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q在点P对应的极线上，
4?x1?y??1，化简得2x?y?2?0．故点Q总在直线2x?y?2?0． 4219．【解析】（1）将直线y?x?3代入椭圆方程x2?a2y2?a2，可得(1?a2)x2?23a2x?2a2?0， 由直线和椭圆相切，可得△?12a4?4(1?a2)2a2?0，解得a?2（由a?1)，即有椭圆C1的方程为
x2?y2?1； 2（2）设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得切线l1:x1x?2y1y?2，由l1与l2交于点M(2,m)，l2:x2x?2y2y?2，
可得2x1?2my1?2，2x2?2my2?2，由两点确定一条直线，可得AB的方程为2x?2my?2，
即为x?my?1，原点到直线AB的距离为d??x?my?1，由?2消去x，可得(2?m2)y2?2my?1?0， 22x?2y?2?1?m12m1，，可得|AB|?1?m2y1?y2?yy??12222?m2?m(y1?y2)?4y1y2?1?m228(1?m2)22(1?m2)?， 22(2?m)2?m211?m22t222t?1?m(t?1)可得?OAB的面积S?d|AB|?2，设，， S???22?m21?t2t?12t2当且仅当t?1即m?0时，S取得最大值；
2（3）由椭圆的对称性，可以设P1(m,n)，P2(m,?n)，点E在x轴上，设点E(t,0)，则圆E的方程为：
(x?t)2?y2?(m?t)2?n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|PE|，设点M(x,y)是13椭圆C2:x2?4y2?4上任意一点，则|ME|2?(x?t)2?y2?x2?2tx?t2?1，当x?m时，|ME|2最小，
4m2?4t4t2222，③ ?m???，①，又圆E过点F1，?(?3?t)?(m?t)?n，②点P1在椭圆上，?n?1?433343由①②③，解得：t??或t??3，又t??3时，m????2，不合题意，
233综上：椭圆C2存在符合条件的内切圆，点E的坐标是(?，0)．
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高中数学函数极点与极线探秘
