学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
x2y212．（2010?江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆??1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设
95过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m?0，y1?0，y2?0． （1）设动点P满足PF2?PB2?4，求点P的轨迹； 1（2）设x1?2，x2?，求点T的坐标；
3（3）设t?9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
13．（2018?咸阳二模）已知A(?2,0),B(2,0),点C是动点，且直线AC和直线BC的斜率之积为?（1）求动点C的轨迹方程；
（2）设至直线l与（1）中轨迹相切于点P,与直线x?4相较于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点.
14．（2019?常德期末）已知点P(2,1)是圆O:x2?y2?8内一点，直线l:y?kx?4． （1）若圆O的弦AB恰好被点P(2,1)平分，求弦AB所在直线的方程；
（2）若过点P(2,1)作圆O的两条互相垂直的弦EF，GH，求四边形EGFH的面积的最大值； （3）若k?
3． 41，Q是l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D．证明：直线CD过定点． 2231
学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
15．（2011?四川）椭圆有两顶点A(?1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． （1）当|CD|?32时，求直线l的方程； 2（2）当点P异于A、B两点时，求证：OPOQ为定值．
x2y216．（2017?南平一模）左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点Q(0,3)，P为椭
ab圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG//F1F2． （1）求椭圆C的方程；
（2）M为直线x?y?4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
17．（2018?深圳二模）已知实数P?0,且过点M(0,?P2)的直线l与曲线C：x2?2py交于A,B两点． （1）设O为坐标原点，直线OA,OB的斜率分别为k1,k2，若k1k2?1，求p的值； （2）设直线MT1,MT2与曲线C分别相切于点T1,T2，点N为直线T1,T2与弦AB的交点，且MA??MN,MB??MN,证明：
1??1?为定值．
232
学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
x2y218．（2008?安徽）设椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(?2,0)．
ab（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP||QB|?|AQ||PB|，证明：点Q总在某定直线上．
19.（2019?浦东新区校级月考）教材曾有介绍：圆x2?y2?r2上的点(x0，y0)处的切线方程为
x2y2xxyyx0x?y0y?r．我们将其结论推广：椭圆2?2?1(a?b?0)上的点(x0，y0)处的切线方程为02?02?1，
ababx2在解本题时可以直接应用．已知，直线x?y?3?0与椭圆C1:2?y2?1(a?1)有且只有一个公共点．
a2（1）求椭圆C1的方程；
（2）设O为坐标原点，过椭圆C1上的两点A、且l1与l2交于点M(2,m)．当l2，B分别作该椭圆的两条切线l1、
m变化时，求?OAB面积的最大值；
x2（3）若P?y2?1上不同的两点，PP1，P2是椭圆C2:12?x轴，圆E过P1，P2，且椭圆C2上任意一点22a都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆．试问：椭圆C2是否存在过左焦点F1的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．
233
学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
1．【解析】点P(?3,4)所对应的极线方程?3x?4y?4，故选B．
2．【解析】设过点A椭圆的另一条切线与椭圆在x轴上方相切于点C，故点A?4,3?对应的极线
BC:4x3y??1，即直线x?y?1经过右焦点F，所以直线BF的斜率为?1 43p??2?p?4，则抛物线方程为y2?8x，设过点A作直线与抛物线C相切与另一23．【解析】由已知得?点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y??x?2?，由于点A在抛物线的准
4，故选D． 34．【解析】切点弦即为点P(1,3)对应的极线，其方程为1?x?3?y?9，即x?3y?9． 线上，则焦点F在点A的极线上，?B、F、D三点共线?kBF?kBD?5．【解析】对于抛物线C:y2?4x，点?x0,y0?对应的极线是直线l:y0y?2?x?x0?，当极点 在在抛（x0,y0）物线的内部时，极线与抛物线相离，故选D．
mx(?2m?4)y6．【解析】设点P的坐标是（m,?2m?4），则切点弦AB的方程为??1，化简得
43(3x?8y)m?12?16y，令3x?8y?12?16y?0，可得x?2,y?33，故直线AB过定点(2，)． 442?，7．【解析】设P(8?2m,m)，易知P的极线方程为my?(8?2m)x?8，即m(2x?y)?8x?8可得弦AB必过?1，易得圆O：x2?y2?8上，过?1，2?的最短的弦长为2r2?d2max?23．
2x0x028．【解析】圆x?(y?4)?1的圆心C(0,4)，半径r?1．设P(x0,)，故MN方程为xx0?(y?4)(?4)?1
4422弦心距d?2x01x02?(?4)24?14x02?x0?16162?8时，d取得最大值，则|MN|取得最小值，当x033． 3x2x0x19．【解析】证明：（1）直线l1:(2?x0x)，代入椭圆C:?y2?1，得?y0y?1，得：y?2y022?1x021?x0?2cos??x?2cos?， (?)?(?1)?0．将代入上式，得：x2?22cos?x?2cos2??0，?2224y0y0y?sin???0?x2?y2?12?x?x0?x?2?方程组?有唯一解?，?点P是椭圆C:?y2?1与直线l1的唯一公共点．
2?y?y0?x0x?yy?10??2（2）tan??y0x2y2?tan?，l1的斜率为?0，l2的斜率为tan??0?2tan?， x022y0x0?tan?tan??tan2??0，?tan?，tan?，tan?构成等比数列．
234
学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
10．【解析】（1）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x?2)2?y2?r2．由题意，所求圆与直线l:y?x?m?4?m2?r2??m?2?相切于点P(0,m)，则有?|2?0?m|，解得?，所以圆的方程为(x?2)2?y2?8．
?r??r?22?2??y??x?m（2）由于直线l的方程为y?x?m，所以直线l?的方程为y??x?m，由?2消去y得到
x?4y?x2?4x?4m?0，△?42?4?4m?16(1?m)．
①当m?1时，即△?0时，直线l?与抛物线C:x2?4y相切； ②当m?1时，即△?0时，直线l?与抛物线C:x2?4y不相切．
综上，当m?1时，直线l?与抛物线C:x2?4y相切；当m?1时，直线l?与抛物线C:x2?4y不相切．
11．【解析】（1）过椭圆C?:xyx0xy0y上一点，的切线方程为??1(a?b?0)M(xy)?2?1； 00222abab22x2y2（2）过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0，y0)作两直线，与椭圆相切于A，B两点，设A(x1，y1)，
abB(x2，y2)，由（1）的结论可得A处的切线方程为
x1xy1yx2xy2y，处的切线方程为B??1?2?1， 222abab又两切线都过M，可得线方程为
x1x0y1y0xxyy?2?1，220?220?1，由过A，B两点确定一条直线可得，过AB的直2ababx0xy0y?2?1； a2bb2x0y0b2x0xy0y（3）证明：由（2）可得过AB的直线方程为2?2?1，可得kAB??2，kOM?，则kABkOM??2；
ay0x0aabx12y12x22y22(x?x)(x?x)(y?y2)(y1?y2)由A，B都在椭圆上，可得2?2?1，2?2?1，相减可得12212?1 ?0，
ababab2设AB的中点为N(m,n)，可得x1?x2?2m，y1?y2?2n，则kABb2x0yy1?y2b2m又kAB??2， ???2，kOM?0，
ayx1?x2anx00可得kON?kOM，则OM过AB的中点，即OM平分线段AB．
12．【解析】（1）设点P(x,y)，则：F(2,0)、B(3,0)、A(?3,0)．由PF2?PB2?4，得
(x?2)2?y2?[(x?3)2?y2]?4，化简得x?（2）将x1?2,x2?99．故所求点P的轨迹为直线x?． 2220151分别代入椭圆方程，以及y1?0，y2?0，得M(2,)、N(，?)
9333
235
高中数学函数极点与极线探秘
