学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
x2y22【例8】(2019?江西模拟)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?,椭圆上的点P与两个焦
2ab点F1,F2构成的三角形的最大面积为1, (1)求椭圆C的方程;
(2)若点Q为直线x?y?2?0上的任意一点,过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE(切点分别为D、E),试证明动直线DE恒过一定点,并求出该定点的坐标.
x2y22【解析】(1)解:椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?,椭圆上的点P与两个焦点F1,F2构
2ab?c2??a2?x2?成的三角形的最大面积为1,??bc?1,解得a?2,b?c?1,?椭圆C的方程为?y2?1.
2?a2?b2?c2???(2)证明:设切点为D(x1,y1),E(x2,y2),则切线方程为x1x?2y1y?2,x2x?2y2y?2,
两条切线都过x?y?2?0上任意一点Q(m,2?m),?得到x1m?2y1(2?m)?2,x2m?2y2(2?m)?2, ?D(x1,y1),E(x2,y2),都在直线mx?2(2?m)y?2上,而对任意的m,直线mx?2(2?m)y?2始终经
11过定点(1,).?动直线DE恒过一定点(1,).
22x2y21【例9】(2018?福建十校联考)已知椭圆C:2?2?(的长轴长为4,离心率为,点P是椭1a?b?0)2ab圆上异于顶点的任意一点,过点P做椭圆的切线l,交y轴于点A,直线l?过点P且垂直于l,交y轴于点
B.
(1)求椭圆的方程;
(2)试判断以AB为直径的圆能否过定点?若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.
x2y2c1【解析】(1)2a?4,?,?a?2,c?1,b?3.?椭圆的方程为??1.
43a2x2y2(2)设点P(x0,y0)(x0?0,y0?0),直线l的方程为y?y0?k(x?x0),代入??1,
43整理,得(3?4k2)x2?8k(y0?kx0)x?4(y0?kx0)2?12?0.?2x0??x?x0是方程的两个相等实根,
3x03x08k(y0?kx0)?,解得.直线的方程为k??y?y??(x?x0). l04y04y03?4k24y20?3x20).又令x?0,得点A的坐标为(0,4y0?点A的坐标为(0,
x02y0222?3x0?12. ??1,?4y0434yy3
).又直线l?的方程为y?y0?0(x?x0),令x?0,得点B的坐标为(0,?0). y03x03
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?以AB为直径的圆的方程为xx?(y?yy33)(y?0)?0.整理,得x2?y2?(0?)y?1?0. y033y0令y?0,得x??1,?以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(?1,0).
x0xy0y??1,434y3y所以点A的坐标为(0,).又直线l?的方程为y?y0?0(x?x0),令x?0,得点B坐标为(0,?0),所y03x03y3以以AB为直径的圆方程为x?x?(y?)?(y?0)?0(圆的直径方程(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0,y03利用极点极线整理一下思路:点p(x0,y0)(x0?0,y0?0),根据切线方程可知直线l的方程为其中A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的一条直径的两个端点),整理得x2?y2?(得x??1,所以以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(?1,0). 5.证明直线交点在定直线上
y03y?)?(y?0)?0,令y?0,3y03x2y2【例10】(2015?南开区一模)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)与y轴的交点为A,B(点A位于点B的
ab上方), F为左焦点,原点O到直线FA的距离为(1)求椭圆C的离心率;
(2)设b?2,直线y?kx?4与椭圆C交于不同的两点M,N,求证:直线BM与直线AN的交点G在定直线上.
【解析】(1)由题意设F的坐标为(?c,0),依题意有bc?2c2. ab,?椭圆C的离心率e??2a22b. 2?x2?2y2?8x2y2(2)法一:若b?2,由(Ⅰ)得a?22,?椭圆方程为? ?1.联立方程组?84y?kx?4?化简得:(2k2?1)x2?16kx?24?0,由△?32(2k2?3)?0,解得:k2?由韦达定理得:xM?xN?3 2?16k24①,②设M(xM,kxM?4),N(xN,kxN?4), xx?MN222k?12k?1kx?6kx?22(kxMxN?xM?3xN) x?2,③NA方程为:y?Nx?2,④,由③④解得:y?MB方程为:y?MxMxN3xN?xM2(?24k?16k8k?2?2xN)2(2?2xN)22k?12k?12k?1??1即yG?1,?直线BM与直线AN的交点G在定直线上.
?16k16k4xN?24xN?22k?12k?1x2y2法二:曲线系法,若b?2,由(1)得a?22,?椭圆方程为??1. 84设lAN: y?k1x?2,lBM:y ?k2x?2,lMN:y?kx+4,lAB:x?0, x2y2以AMBN四点曲线系方程为(k1x?y?2)(k2x?y?2)?ux(kx?y?4)??(??1) 84xy的系数为0, ?k1?k2?u?0;x的系数为0, ?2k1+2k2?4u?0;
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lAN: y?k1x?2,lBM:y ?k2x?2相加可以得到,2y=k1x?k2x ,相减可以得到k1x?k2x?4?0 联立可得y?1,即点G在定直线y?1上. x2y2极点极线原理:椭圆方程为??1.直线MN(y?kx?4)与直线AB(y轴)的交点为S?0,4?,直84线AM与直线BN的交点为R,则G,R,S构成椭圆的自极三点形,故点G一定在点S?0,4?对应的极线GR上,其方程为0?x4?y??1,即y?1,就是说直线BM与直线AN的交点G在定直线上. 84x2y2【例11】(2018?太原模拟)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点为F2(1,0),
ab3点B(1,)在椭圆C上.
2(1)求椭圆方程;
(2)若直线l:y?k(x?4)(k?0)与椭圆C交于M,N两点,已知直线A1M与A2N相交于点G,证明:点G在定直线上,并求出定直线的方程.
?a2?1?b2?x2y2?9??【解析】(1)由题目已知条件知?,a?2,b?3,椭圆的方程为:? ?1;F2(1,0),?c?1,431??4?1??a2b2(2)法一:由椭圆对称性知G在x?x0上,假设直线l过椭圆上顶点,则M(0,3), ?k??383333333 ,N(,),lA1M:y?(x?2),lA2N:y??(x?2),?G(1,),所以G在定直线x?1上.455222?y?k(x?4)?当M不在椭圆顶点时,设M(x1,y1),N(x2,y2),?x2y2,整理得(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0, ?1??3?4y1y232k264k2?12所以x1?x2?,l:y?(x?2),l:y?(x?2), ,x?x?A1MA2N12x1?2x2?23?4k23?4k23y1?y264k2?1232k28(3?4k2)当x?1时,,得2x1x2?5(x1?x2)?8?0,所以2??5??0,所以Gx1?2x2?23?4k23?4k23?4k2在定直线x?1上. 法二:曲线系法,设lA1M: x?k1y?2,lA2N: x?k2y?2,lMN:y?k(x?4),lMN:y?0 x2y2以A1MA2N四点曲线系方程为[(x?k1y?2)][(x?k2y?2)]?uy[ y?kx?4k]??(??1) 43xy的系数为0, ?k1?k2?ku?0;y的系数为0, 2k1?2k2?4ku?0; lA1M: x?k1y?2,lA2N: x?k2y?2相加可以得到,2x=k1y?k2y ,相减可以得到k1y?k2y?4?0 联立可得x?1,即点Q在定直线x?1上. 极点极线原理:由于直线l:y?k(x?4)经过P(4,设直线A1N与A2M相交于点H,则直线GH在点P(4,0),0)所对应的极线上,点P(4,0)对应的极线方程
4x0?y??1,即x?1,故点G在顶点x?1上. 43
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达标训练
1.(2018?兰州月考)过点P(?3,4)作圆x2?y2?4的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为( )
A.3x?4y?7?0 B.3x?4y?4?0
C.3x?4y?25?0
D.3x?4y?0
x2y22.(2018?蚌埠二模)已知A?4,3?,F为椭圆??1的右焦点,过点A的直线与椭圆在x轴上方相切
43与于点B,则直线BF的斜率为( )
A.?1 2B.?2 3C.1 D.?4 33.(2014?辽宁)已知点A(?2,3)在抛物线C:y2?2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切与点
B,记C得焦点F,则直线BF的斜率为( )
12A. B.
23C.
3 4D.
4 34.若过点P(1,3)作圆x2?y2?9的切线,则两点所在直线方程为_____ .
2?4x0的点5.(2018?深圳期末)对于抛物线C:y2?4x,我们称满足y0在抛物线的内部,则直线(x0,y0)l:y0y?2?x?x0?与抛物线C( )
A.恰有1个公共点 B.恰有2个公共点 C.可能有1个公共也可能有2个公共点
D.没有公共点
x2y26.已知点P为2x?y?4上一动点.过点P作椭圆??1的两条切线,切点分别A、B,当点P运动
43时,直线AB过定点,该定点的坐标是 . 7.(2011?希望杯)从直线l:xy??1上的任意一点P作圆O:x2?y2?8的两条切线,切点为A、B,则84弦AB长度的最小值为 .
8.(2019?通州区期中)已知点P是抛物线x2?4y上一个动点,过点作圆x2?(y?4)2?1的两条切线,切点分别为M,N,则线段MN长度的最小值为 .
x2xx?9.点P(x0,y0)在椭圆C:?y2?1上,且x0?2cos?,y0?sin?,直线l2与直线l1:0?y0y?10???.
222垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为?,直线l2的倾斜角为?.
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x2(1)证明:点P是椭圆C:?y2?1与直线l1的唯一公共点;
2(2)证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列.
10.(2011?福建卷)已知直线l:y?x?m,m?R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程; (2)若直线l关于x轴对称的直线为l?,问直线l?与抛物线C:x2?4y是否相切?说明理由.
11.(2018?徐州期中)已知圆C:x2?y2?r2有以下性质:①过圆C上一点M(x0,y0)的圆的切线方程是
x0x?y0y?r2.②若M(x0,y0)为圆C外一点,过M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为x0x?y0y?r2;③若不在坐标轴上的点M(x0,y0)为圆C外一点,国M作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则OM垂直AB,即kABkOM??1,且OM平分线段AB.
x2y2(1)类比上述有关结论,猜想过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)的切线方程(不要证明),
abx2y2(2)过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)作两直线,与椭圆相切于A,B两点,求过A,Bab两点的直线方程,
x2y2(3)若过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)(M不在坐标轴上)作两直线,与椭圆相切与A,
abB两点,求证kABkOM为定值,且OM平分线段AB.
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高中数学函数极点与极线探秘
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