学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
x2y22【例8】（2019?江西模拟）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，椭圆上的点P与两个焦
2ab点F1，F2构成的三角形的最大面积为1， （1）求椭圆C的方程；
（2）若点Q为直线x?y?2?0上的任意一点，过点Q作椭圆C的两条切线QD、QE（切点分别为D、E)，试证明动直线DE恒过一定点，并求出该定点的坐标．
x2y22【解析】（1）解：椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，椭圆上的点P与两个焦点F1，F2构
2ab?c2??a2?x2?成的三角形的最大面积为1，??bc?1，解得a?2，b?c?1，?椭圆C的方程为?y2?1．
2?a2?b2?c2???（2）证明：设切点为D(x1，y1)，E(x2，y2)，则切线方程为x1x?2y1y?2，x2x?2y2y?2，
两条切线都过x?y?2?0上任意一点Q(m,2?m)，?得到x1m?2y1(2?m)?2，x2m?2y2(2?m)?2， ?D(x1，y1)，E(x2，y2)，都在直线mx?2(2?m)y?2上，而对任意的m，直线mx?2(2?m)y?2始终经
11过定点(1,)．?动直线DE恒过一定点(1,)．
22x2y21【例9】（2018?福建十校联考）已知椭圆C：2?2?（的长轴长为4，离心率为，点P是椭1a?b?0）2ab圆上异于顶点的任意一点，过点P做椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l?过点P且垂直于l，交y轴于点
B．
（1）求椭圆的方程；
（2）试判断以AB为直径的圆能否过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
x2y2c1【解析】（1）2a?4，?，?a?2，c?1，b?3．?椭圆的方程为??1．
43a2x2y2（2）设点P(x0，y0)(x0?0，y0?0)，直线l的方程为y?y0?k(x?x0)，代入??1，
43整理，得(3?4k2)x2?8k(y0?kx0)x?4(y0?kx0)2?12?0．?2x0??x?x0是方程的两个相等实根，
3x03x08k(y0?kx0)?，解得．直线的方程为k??y?y??(x?x0)． l04y04y03?4k24y20?3x20)．又令x?0，得点A的坐标为(0,4y0?点A的坐标为(0,
x02y0222?3x0?12． ??1，?4y0434yy3
)．又直线l?的方程为y?y0?0(x?x0)，令x?0，得点B的坐标为(0,?0)． y03x03
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?以AB为直径的圆的方程为xx?(y?yy33)(y?0)?0．整理，得x2?y2?(0?)y?1?0． y033y0令y?0，得x??1，?以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(?1,0)．
x0xy0y??1，434y3y所以点A的坐标为(0,)．又直线l?的方程为y?y0?0(x?x0)，令x?0，得点B坐标为(0,?0)，所y03x03y3以以AB为直径的圆方程为x?x?(y?)?(y?0)?0（圆的直径方程(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0，y03利用极点极线整理一下思路：点p(x0,y0)(x0?0,y0?0)，根据切线方程可知直线l的方程为其中A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的一条直径的两个端点），整理得x2?y2?(得x??1，所以以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(?1,0)． 5.证明直线交点在定直线上
y03y?)?(y?0)?0，令y?0，3y03x2y2【例10】（2015?南开区一模）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)与y轴的交点为A，B（点A位于点B的
ab上方）， F为左焦点，原点O到直线FA的距离为（1）求椭圆C的离心率；
（2）设b?2，直线y?kx?4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
【解析】（1）由题意设F的坐标为(?c,0)，依题意有bc?2c2． ab，?椭圆C的离心率e??2a22b． 2?x2?2y2?8x2y2（2）法一：若b?2，由（Ⅰ）得a?22，?椭圆方程为? ?1．联立方程组?84y?kx?4?化简得：(2k2?1)x2?16kx?24?0，由△?32(2k2?3)?0，解得：k2?由韦达定理得：xM?xN?3 2?16k24①，②设M(xM，kxM?4)，N(xN，kxN?4)， xx?MN222k?12k?1kx?6kx?22(kxMxN?xM?3xN) x?2，③NA方程为：y?Nx?2，④，由③④解得：y?MB方程为：y?MxMxN3xN?xM2(?24k?16k8k?2?2xN)2(2?2xN)22k?12k?12k?1??1即yG?1，?直线BM与直线AN的交点G在定直线上．
?16k16k4xN?24xN?22k?12k?1x2y2法二：曲线系法，若b?2，由（1）得a?22，?椭圆方程为??1． 84设lAN: y?k1x?2，lBM:y ?k2x?2，lMN:y?kx+4，lAB:x?0， x2y2以AMBN四点曲线系方程为(k1x?y?2)(k2x?y?2)?ux(kx?y?4)??(??1) 84xy的系数为0， ?k1?k2?u?0；x的系数为0， ?2k1+2k2?4u?0；
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lAN: y?k1x?2，lBM:y ?k2x?2相加可以得到，2y=k1x?k2x ，相减可以得到k1x?k2x?4?0 联立可得y?1，即点G在定直线y?1上． x2y2极点极线原理：椭圆方程为??1．直线MN（y?kx?4）与直线AB（y轴）的交点为S?0,4?，直84线AM与直线BN的交点为R，则G，R，S构成椭圆的自极三点形，故点G一定在点S?0,4?对应的极线GR上，其方程为0?x4?y??1，即y?1，就是说直线BM与直线AN的交点G在定直线上． 84x2y2【例11】（2018?太原模拟）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1,0)，
ab3点B(1,)在椭圆C上．
2（1）求椭圆方程；
（2）若直线l:y?k(x?4)(k?0)与椭圆C交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程．
?a2?1?b2?x2y2?9??【解析】（1）由题目已知条件知?，a?2,b?3，椭圆的方程为：? ?1；F2(1,0)，?c?1，431??4?1??a2b2（2）法一：由椭圆对称性知G在x?x0上，假设直线l过椭圆上顶点，则M(0,3)， ?k??383333333 ,N(,)，lA1M:y?(x?2),lA2N:y??(x?2)，?G(1,)，所以G在定直线x?1上．455222?y?k(x?4)?当M不在椭圆顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，?x2y2，整理得(3?4k2)x2?32k2x?64k2?12?0， ?1??3?4y1y232k264k2?12所以x1?x2?，l:y?(x?2),l:y?(x?2)， ,x?x?A1MA2N12x1?2x2?23?4k23?4k23y1?y264k2?1232k28(3?4k2)当x?1时，，得2x1x2?5(x1?x2)?8?0，所以2??5??0，所以Gx1?2x2?23?4k23?4k23?4k2在定直线x?1上． 法二：曲线系法，设lA1M: x?k1y?2，lA2N: x?k2y?2，lMN:y?k(x?4)，lMN:y?0 x2y2以A1MA2N四点曲线系方程为[(x?k1y?2)][(x?k2y?2)]?uy[ y?kx?4k]??(??1) 43xy的系数为0， ?k1?k2?ku?0；y的系数为0， 2k1?2k2?4ku?0； lA1M: x?k1y?2，lA2N: x?k2y?2相加可以得到，2x=k1y?k2y ，相减可以得到k1y?k2y?4?0 联立可得x?1，即点Q在定直线x?1上． 极点极线原理：由于直线l:y?k(x?4)经过P(4，设直线A1N与A2M相交于点H，则直线GH在点P(4，0)，0)所对应的极线上，点P(4，0)对应的极线方程
4x0?y??1，即x?1，故点G在顶点x?1上． 43
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达标训练
1．（2018?兰州月考）过点P(?3,4)作圆x2?y2?4的两条切线，切点分别为A,B，则AB所在直线的方程为（ ）
A．3x?4y?7?0 B．3x?4y?4?0
C．3x?4y?25?0
D．3x?4y?0
x2y22．（2018?蚌埠二模）已知A?4,3?，F为椭圆??1的右焦点，过点A的直线与椭圆在x轴上方相切
43与于点B，则直线BF的斜率为（ ）
A．?1 2B．?2 3C．1 D．?4 33．（2014?辽宁）已知点A(?2,3)在抛物线C：y2?2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切与点
B，记C得焦点F，则直线BF的斜率为（ ）
12A． B．
23C．
3 4D．
4 34．若过点P(1,3)作圆x2?y2?9的切线，则两点所在直线方程为_____ ．
2?4x0的点5．（2018?深圳期末）对于抛物线C:y2?4x，我们称满足y0在抛物线的内部，则直线（x0,y0）l:y0y?2?x?x0?与抛物线C（ ）
A．恰有1个公共点 B．恰有2个公共点 C．可能有1个公共也可能有2个公共点
D．没有公共点
x2y26．已知点P为2x?y?4上一动点．过点P作椭圆??1的两条切线，切点分别A、B，当点P运动
43时，直线AB过定点，该定点的坐标是 ． 7．（2011?希望杯）从直线l:xy??1上的任意一点P作圆O：x2?y2?8的两条切线，切点为A、B，则84弦AB长度的最小值为 ．
8．（2019?通州区期中）已知点P是抛物线x2?4y上一个动点，过点作圆x2?(y?4)2?1的两条切线，切点分别为M，N，则线段MN长度的最小值为 ．
x2xx?9.点P(x0，y0)在椭圆C:?y2?1上，且x0?2cos?,y0?sin?，直线l2与直线l1:0?y0y?10???．
222垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?．
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x2（1）证明：点P是椭圆C:?y2?1与直线l1的唯一公共点；
2（2）证明：tan?，tan?，tan?构成等比数列．
10．（2011?福建卷）已知直线l:y?x?m，m?R．
（1）若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （2）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C:x2?4y是否相切？说明理由．
11．（2018?徐州期中）已知圆C:x2?y2?r2有以下性质：①过圆C上一点M(x0，y0)的圆的切线方程是
x0x?y0y?r2．②若M(x0，y0)为圆C外一点，过M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x?y0y?r2；③若不在坐标轴上的点M(x0，y0)为圆C外一点，国M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则OM垂直AB，即kABkOM??1，且OM平分线段AB．
x2y2（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)上一点M(x0，y0)的切线方程（不要证明），
abx2y2（2）过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0，y0)作两直线，与椭圆相切于A，B两点，求过A，Bab两点的直线方程，
x2y2（3）若过椭圆C?:2?2?1(a?b?0)外一点M(x0，y0)(M不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切与A，
abB两点，求证kABkOM为定值，且OM平分线段AB．
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高中数学函数极点与极线探秘
