学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
极点与极线探秘
第一讲 极点和极线的定义及极点与极线的作图
极点与极线是高等几何中的重要概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律. 一 极点和极线的定义和性质
在圆锥曲线方程中，以x0x替换x2，以
y?yx0?x2替换x，以y0y替换y ，以0替换y，即可得到点22P(x0,y0)的极线方程．已知圆锥曲线?:Ax2?Cy2?2Dx?2Ey?F?0，则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0是圆锥曲线?的一对极点和极线.
从定义我们共同思考和讨论几个问题:
1．若点P(x0,y0)在椭圆上，则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?
xxyyx2y2（1）对于椭圆2?2?1?a?b?，与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1；当P(x0,y0)为其焦
abab点F(c,0)时，极线对应的极线方程为
x0xa2??y0yb2y0yb2x2y2a2，恰是椭圆的右准线．（2）对于双曲线2?2?1，与点P(x0,y0)?1变成x?cabx0xa2?1；当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时，极线
x0xa2?y0yb2a2，恰是双?1变成x?c曲线的右准线．（3）对于抛物线y?2px2，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y?p(x0?x)．当P(x0,y0)为其焦点F(pp,0)时，极线y0y?p(x0?x)变为x??，恰为抛物线的准线． 222.过椭圆上（外、内）任意一点P(x0,y0)，如何作出相应的极线？ （1）当点P在圆锥曲线?上时，其极线时曲线?在点P点处的切线；
（2）当点P在?外时，其极线l时曲线?从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在的直线）； （3）当点P在?内时，其极线l时曲线?过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹．
为了表达方便，我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．
注意：证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可，这里不作详述。
二 极点与极线的作图（几何意义）
如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H，连接
EH,FG交于N，连接EG,FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1同理可知， PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为
自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
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A F E N G H B M 图1
B 图2
Q P A l P PAPB ①；?AQBQ反之，若有①成立，则称点P,Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于?调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线?的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线?的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.
注意：关于分割和调和分割问题，在《秒1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述，可以参考。
如图2，设点P关于圆锥曲线?的极线为l，过点P任作一割线交?于A,B，交l于Q，则
图3
配极原则：点P关于圆锥曲线?的极线p过点Q?点Q关于?的极线q经过点P;直线p关于?的极点P在直线q上?直线q关于?的极点Q在直线p．由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线． 极点极线垂直定理:如图3，设圆锥曲线?的一个焦点为F，与F相应的准线为l．
（1）若过点F的直线与圆锥曲线?相交于M,N两点，则?在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上，且FQ?MN;
（2）若过准线l上一点Q作圆锥曲线?的两条切线，切点分别为M,N，则直线MN过焦点F，且FQ?MN；
（3）若过焦点F的直线与圆锥曲线?相交于M,N两点，过F作FQ?MN交准线l于Q，则连线QM,QN是圆锥曲线?的两条切线．
注意：极点与极线一般在小题中直接用很爽，但是在大题中，由于不在中学的课本范围内，基本上都无法直接使用，那么解答题中我们只给出思路，很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法，曲线系写法或者定比点差写法． 三．极点极线的应用 1.求切线和切点弦方程问题
（3，1）【例1】（2013?山东）过点作圆(x2?1)2?y2?1的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为
（ ）
A．2x?y?3?0 B．2x?y?3?0
C．4x?y?3?0 D．4x?y?3?0
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【解析】法一：因为过点(3,1)作圆(x?1)2?y2?1的两条切线，切点分别为A，B，
所以圆的一条切线方程为y?1，切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过(1,1)，B、D不满足题意； 另一个切点的坐标在(1,1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选：A． 法二：切点弦AB所在的直线就是点对应的极线，故其方程为?3?1??x?1??1?y?1， （3，1）即2x?y?3?0．故选A．
x2y2【例2】（2019?武汉模拟）过椭圆??1内一点M(3,2)，做直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD259与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ所
在的直线方程．
xxyyxAxyAyxxyy??1，lPB:B?B?1，lQC:C?C?1，259259259xAxpyAypxBxpyBypxxyy因点P(xp，yp)在PA，PB上，则这表明A(xA，yA)，??1，??1，lQD:D?D?1，
259259259xQxyQyxxypyB(xA，yA)，在直线P??1上，同理CD所在的直线方程为??1，因为直线AB，CD相交
2592593xQ2yQ3xP2yP3x2y于点M(3,2)，所以??1，所以P、Q所在的直线方程为???1，?1．
259259259【解析】过点A、B、C、D的切线方程为分别为lPA:x2y23x2y本题实质就是求椭圆??1内一点M(3,2)对应的极线方程，P、Q所在的直线方程为??1． 2592592.讨论直线与圆锥曲线的位置关系
2x0x222【例3】（2010?湖北）已知椭圆C:?y?1的两个焦点F1，F2，点P(x0,y0)满足0??y0?1，则
22PF1?PF2的取值范围为 ，直线x0x?y0y?1与椭圆C的公共点个数是 ． 2【解析】依题意知，点P在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得c?1，由数形结合可得，当P点在线段F1F2上除原点时，(|PF1|?|PF2|)min?2，当P在椭圆上时，(|PF1|?|PF2|)max?2a?22， 故|PF1|?|PF2|的取值范围为[2,22)．由题意知，点P(x0,y0)和直线
x0x?y0y?1恰好是椭圆的一对极点2和极线，因为点P在椭圆内，所以极线与椭圆相离，故极线与椭圆公共点的个数为零．
x2y2?1a?b?0）【例4】（2009?安徽）已知点P(x0,y0)在椭圆2?2?（，x0?acos?，y0?bsin?，0???，
2ab直线l2与直线l1:x0xy0y?2?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?．证明：a2bx2y2点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点．
abb2x2y2x0y02【解析】（Ⅰ）由2x?2y?1，得y?2(a?x0x)，代入椭圆2?2?1，得
ay0abab
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?x?acos?1b2x0222b2x0b2(2?42)x?2x?(2?1)?0，将?0，代入上式，得x2?2acos?x?a2cos2??0， aay0ay0y0?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2从而x?acos?，??2有唯一解?，即直线l1与椭圆有唯一交点P．
y?y0??x0x?y0y?1?b2?a2易知P(x0,y0)与直线l1是椭圆的一对极点极线，点P(x0,y0)在椭圆上所以直线l1与椭圆相切与点P，即点P是椭圆l1:x0xy0y?2?1与直线l1唯一交点． a2by0a2ay0b?tan?，由此得tan?tan??tan2??0， （Ⅱ）tan???tan?，l1的斜率为tan??2x0bbx0a?tan?，tan?，tan?构成等比数列．
3 .最值问题
x2y2【例5】（2018?安徽期末）已知椭圆C的方程为??1，过直线l:x?4上任意一点Q，作椭圆C的
43两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB距离的最大值为 ．
x2y2【解析】法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(4,y0)，由椭圆2?2?1(a?b?0)在(x0，y0)处的切线方
ab程为：
x0xy0yx1xy1yx2xy2y，则直线的方程：，直线的方程：QAQB??1??1??1，由直线QA，直
a2b24343线QB过Q，将M代入直线QA，直线QB方程得3x1?y1y0?3，3x2?y2y0?3，则A(x1，y1)，B(x2，y2)?直线AB的方程为3x?yy0?3，分别为方程3x?yy0?3的解，令y?0，则x?1，直线AB恒过定点(1,0)，
当直线AB的斜率不存时，直线AB的方程y?k(x?1)，O到直线AB的距离k21d???1??1，当直线AB的斜率不存在时，则直线AB的方程x?1，则原点到直线2221?k1?k1?k|k|AB距离为1，故答案为：1．
法二：切点弦AB是点Q对应的极线，设点Q的坐标为?4,m?，则可知直线AB的方程为4xmy??1，即43x?my?1，因为直线AB过椭圆C焦点?1,0?，所以原点到直线AB的距离的最大值为1． 3x2y2【例6】（2018?诸暨市期末）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点和右焦点分别为A，F，右准线
ab为直线m，圆D:x2?y2?6y?4?0． （1）若点A在圆D上，且椭圆C的离心率为3，求椭圆C的方程； 2（2）若直线m上存在点Q，使?AFQ为等腰三角形，求椭圆C的离心率的取值范围；
（3）若点P在（1）中的椭圆C上，且过点P可作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的
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取值范围．
【解析】（1）对x2?y2?6y?4?0，令y?0，则x??2．所以，A(?2,0)，a?2，又因为，e?222c3，?a2x2所以，c?3，b?a?c?1，椭圆C的方程为：?y2?1．
4a2（2）由图知?AFQ为等腰三角形a?c?AF?QF??c，所以2c2?ac?a2?0，2e2?e?1?0，
c11(2e?1)(e?1)?0，又0?e?1，所以?e?1，即椭圆离心率取值范围为(,1)．
22（3）法一：连PD交MN于H，连DM，则由圆的几何性质知：H为MN的中点，DM?PM，MN?PD． 2MDMP2MDPD2?MD2MD2?2MD1??MN?2MH??，D:x2?(y?3)2?13，MD?13，2PDPDPDx0213，设P(x0，y0)，则?y02?1且?1?y0?0，?MN?2131?2PD439． 2法二思路（切点弦方程请自己证明完成）：点P为椭圆上一点，则点P(2cos?,sin?)对应的极线（即切点弦MN）方程为2xcos??ysin??3(y?sin?)?4?0?2xcos??(sin??3)y?3sin??4?0，由于圆
131313D:x2?y2?6y?4?0的圆心为(0,3)，半径为13，弦心距d??[,]，显然
42?3sin2??6sin??13222?PD2?x0?(y0?3)2??3y0?6y0?13??3(y0?1)2?16(?1?y0?0)?13?PD2?16，所以，0?MN?MN2?（0，3939． ]，所以，0?MN?42
4 直线过定点和定直线问题
【例7】（2019?武汉期末）设P是直线l:2x?y?9?0上的任一点，过点P作圆x2?y2?9的两条切线PA、
PB，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点 ．
【解析】法一：因为P是直线l:2x?y?9?0上的任一点，所以设P(m,?2m?9)，由于圆x2?y2?9的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，所以OA?PA，OB?PB，则点A、B在以OP为直径的圆上，即ABm2?(2m?9)2m2m?92是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是(，?， )，且半径的平方是r?422m22m?92m2?(2m?9)2所以圆C的方程是(x?)?(y?，①又x2?y2?9，②，②?①得，)?224即公共弦AB所在的直线方程是：mx?(2m?9)y?9?0，即m(x?2y)?(9y?9)?0， mx?(2m?9)y?9?0，
?x?2y?0?x??2由?得，?，所以直线AB恒过定点(?2,?1)，故答案为：(?2,?1)．
9y?9?0y??1??法二：设点P的坐标为(m,?2m?9)，因为点P对应的极线为直线AB，其方程为mx?(?2m?9)y?9，整理得(x?2y)m?9y?9，令9y?9?0,x?2y?0，可见直线AB过定点．故答案为：(?2,?1)． （?2,?1）
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