学习数学 领悟数学 秒杀数学 第四章 圆锥曲线
极点与极线探秘
第一讲 极点和极线的定义及极点与极线的作图
极点与极线是高等几何中的重要概念,虽然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容,也不属于高考考查的范围,但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征,因此在高考试题中必然会有所反映,自然也会成为高考试题的命题背景.
作为一名中学数学教师,应当了解极点与极线的概念,掌握有关极点与极线的基本性质,只有这样,才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景,进而把握命题规律. 一 极点和极线的定义和性质
在圆锥曲线方程中,以x0x替换x2,以
y?yx0?x2替换x,以y0y替换y ,以0替换y,即可得到点22P(x0,y0)的极线方程.已知圆锥曲线?:Ax2?Cy2?2Dx?2Ey?F?0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x?Cy0y?D(x?x0)?E(y?y0)?F?0是圆锥曲线?的一对极点和极线.
从定义我们共同思考和讨论几个问题:
1.若点P(x0,y0)在椭圆上,则其对应的极线是什么?椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?
xxyyx2y2(1)对于椭圆2?2?1?a?b?,与点P(x0,y0)对应的极线方程为02?02?1;当P(x0,y0)为其焦
abab点F(c,0)时,极线对应的极线方程为
x0xa2??y0yb2y0yb2x2y2a2,恰是椭圆的右准线.(2)对于双曲线2?2?1,与点P(x0,y0)?1变成x?cabx0xa2?1;当P(x0,y0)为其焦点F(c,0)时,极线
x0xa2?y0yb2a2,恰是双?1变成x?c曲线的右准线.(3)对于抛物线y?2px2,与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y?p(x0?x).当P(x0,y0)为其焦点F(pp,0)时,极线y0y?p(x0?x)变为x??,恰为抛物线的准线. 222.过椭圆上(外、内)任意一点P(x0,y0),如何作出相应的极线? (1)当点P在圆锥曲线?上时,其极线时曲线?在点P点处的切线;
(2)当点P在?外时,其极线l时曲线?从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在的直线); (3)当点P在?内时,其极线l时曲线?过点P的任一割线两端点处的切线交点的轨迹.
为了表达方便,我们给出圆锥曲线内部和外部的定义.圆、椭圆是封闭图形其内部和外部很好界定,抛物线、双曲线不是封闭的是开的,对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义:焦点所在的平面区域称为该曲线的内部,不含焦点的平面区域称为曲线的外部,曲线上的点既不在内部也不在外部.
注意:证明书写过程请参考下一讲《抛物线切线与阿基米德三角形》中的“导、差、代、联”即可,这里不作详述。
二 极点与极线的作图(几何意义)
如图1,设P是不在圆锥曲线上的一点,过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接
EH,FG交于N,连接EG,FH交于M,则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点,则过P点的切线即为极线.由图1同理可知, PM为点N对应的极线,PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为
自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.
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A F E N G H B M 图1
B 图2
Q P A l P PAPB ①;?AQBQ反之,若有①成立,则称点P,Q调和分割线段AB,或称点P与Q关于?调和共轭,或称点P(或点Q)关于圆锥曲线?的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线?的调和共轭点是一条直线,这条直线就是点P的极线.
注意:关于分割和调和分割问题,在《秒1》的定比点差法破解极点与极线中有阐述,可以参考。
如图2,设点P关于圆锥曲线?的极线为l,过点P任作一割线交?于A,B,交l于Q,则
图3
配极原则:点P关于圆锥曲线?的极线p过点Q?点Q关于?的极线q经过点P;直线p关于?的极点P在直线q上?直线q关于?的极点Q在直线p.由此可知,共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 极点极线垂直定理:如图3,设圆锥曲线?的一个焦点为F,与F相应的准线为l.
(1)若过点F的直线与圆锥曲线?相交于M,N两点,则?在M,N两点处的切线的交点Q在准线l上,且FQ?MN;
(2)若过准线l上一点Q作圆锥曲线?的两条切线,切点分别为M,N,则直线MN过焦点F,且FQ?MN;
(3)若过焦点F的直线与圆锥曲线?相交于M,N两点,过F作FQ?MN交准线l于Q,则连线QM,QN是圆锥曲线?的两条切线.
注意:极点与极线一般在小题中直接用很爽,但是在大题中,由于不在中学的课本范围内,基本上都无法直接使用,那么解答题中我们只给出思路,很多书写过程还是参考之后提到的切线部分的阿基米德三角形写法,曲线系写法或者定比点差写法. 三.极点极线的应用 1.求切线和切点弦方程问题
(3,1)【例1】(2013?山东)过点作圆(x2?1)2?y2?1的两条切线,切点分别为A、B则直线AB的方程为
( )
A.2x?y?3?0 B.2x?y?3?0
C.4x?y?3?0 D.4x?y?3?0
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【解析】法一:因为过点(3,1)作圆(x?1)2?y2?1的两条切线,切点分别为A,B,
所以圆的一条切线方程为y?1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意; 另一个切点的坐标在(1,1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选:A. 法二:切点弦AB所在的直线就是点对应的极线,故其方程为?3?1??x?1??1?y?1, (3,1)即2x?y?3?0.故选A.
x2y2【例2】(2019?武汉模拟)过椭圆??1内一点M(3,2),做直线AB与椭圆交于点A,B,作直线CD259与椭圆交于点C,D,过A,B分别作椭圆的切线交于点P,过C,D分别作椭圆的切线交于点Q,求PQ所
在的直线方程.
xxyyxAxyAyxxyy??1,lPB:B?B?1,lQC:C?C?1,259259259xAxpyAypxBxpyBypxxyy因点P(xp,yp)在PA,PB上,则这表明A(xA,yA),??1,??1,lQD:D?D?1,
259259259xQxyQyxxypyB(xA,yA),在直线P??1上,同理CD所在的直线方程为??1,因为直线AB,CD相交
2592593xQ2yQ3xP2yP3x2y于点M(3,2),所以??1,所以P、Q所在的直线方程为???1,?1.
259259259【解析】过点A、B、C、D的切线方程为分别为lPA:x2y23x2y本题实质就是求椭圆??1内一点M(3,2)对应的极线方程,P、Q所在的直线方程为??1. 2592592.讨论直线与圆锥曲线的位置关系
2x0x222【例3】(2010?湖北)已知椭圆C:?y?1的两个焦点F1,F2,点P(x0,y0)满足0??y0?1,则
22PF1?PF2的取值范围为 ,直线x0x?y0y?1与椭圆C的公共点个数是 . 2【解析】依题意知,点P在椭圆内部且与原点不重合.画出图形,由椭圆方程得c?1,由数形结合可得,当P点在线段F1F2上除原点时,(|PF1|?|PF2|)min?2,当P在椭圆上时,(|PF1|?|PF2|)max?2a?22, 故|PF1|?|PF2|的取值范围为[2,22).由题意知,点P(x0,y0)和直线
x0x?y0y?1恰好是椭圆的一对极点2和极线,因为点P在椭圆内,所以极线与椭圆相离,故极线与椭圆公共点的个数为零.
x2y2?1a?b?0)【例4】(2009?安徽)已知点P(x0,y0)在椭圆2?2?(,x0?acos?,y0?bsin?,0???,
2ab直线l2与直线l1:x0xy0y?2?1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为?,直线l2的倾斜角为?.证明:a2bx2y2点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点.
abb2x2y2x0y02【解析】(Ⅰ)由2x?2y?1,得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,得
ay0abab
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?x?acos?1b2x0222b2x0b2(2?42)x?2x?(2?1)?0,将?0,代入上式,得x2?2acos?x?a2cos2??0, aay0ay0y0?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2从而x?acos?,??2有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.
y?y0??x0x?y0y?1?b2?a2易知P(x0,y0)与直线l1是椭圆的一对极点极线,点P(x0,y0)在椭圆上所以直线l1与椭圆相切与点P,即点P是椭圆l1:x0xy0y?2?1与直线l1唯一交点. a2by0a2ay0b?tan?,由此得tan?tan??tan2??0, (Ⅱ)tan???tan?,l1的斜率为tan??2x0bbx0a?tan?,tan?,tan?构成等比数列.
3 .最值问题
x2y2【例5】(2018?安徽期末)已知椭圆C的方程为??1,过直线l:x?4上任意一点Q,作椭圆C的
43两条切线,切点分别为A,B,则原点到直线AB距离的最大值为 .
x2y2【解析】法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(4,y0),由椭圆2?2?1(a?b?0)在(x0,y0)处的切线方
ab程为:
x0xy0yx1xy1yx2xy2y,则直线的方程:,直线的方程:QAQB??1??1??1,由直线QA,直
a2b24343线QB过Q,将M代入直线QA,直线QB方程得3x1?y1y0?3,3x2?y2y0?3,则A(x1,y1),B(x2,y2)?直线AB的方程为3x?yy0?3,分别为方程3x?yy0?3的解,令y?0,则x?1,直线AB恒过定点(1,0),
当直线AB的斜率不存时,直线AB的方程y?k(x?1),O到直线AB的距离k21d???1??1,当直线AB的斜率不存在时,则直线AB的方程x?1,则原点到直线2221?k1?k1?k|k|AB距离为1,故答案为:1.
法二:切点弦AB是点Q对应的极线,设点Q的坐标为?4,m?,则可知直线AB的方程为4xmy??1,即43x?my?1,因为直线AB过椭圆C焦点?1,0?,所以原点到直线AB的距离的最大值为1. 3x2y2【例6】(2018?诸暨市期末)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线
ab为直线m,圆D:x2?y2?6y?4?0. (1)若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为3,求椭圆C的方程; 2(2)若直线m上存在点Q,使?AFQ为等腰三角形,求椭圆C的离心率的取值范围;
(3)若点P在(1)中的椭圆C上,且过点P可作圆D的两条切线,切点分别为M、N,求弦长MN的
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取值范围.
【解析】(1)对x2?y2?6y?4?0,令y?0,则x??2.所以,A(?2,0),a?2,又因为,e?222c3,?a2x2所以,c?3,b?a?c?1,椭圆C的方程为:?y2?1.
4a2(2)由图知?AFQ为等腰三角形a?c?AF?QF??c,所以2c2?ac?a2?0,2e2?e?1?0,
c11(2e?1)(e?1)?0,又0?e?1,所以?e?1,即椭圆离心率取值范围为(,1).
22(3)法一:连PD交MN于H,连DM,则由圆的几何性质知:H为MN的中点,DM?PM,MN?PD. 2MDMP2MDPD2?MD2MD2?2MD1??MN?2MH??,D:x2?(y?3)2?13,MD?13,2PDPDPDx0213,设P(x0,y0),则?y02?1且?1?y0?0,?MN?2131?2PD439. 2法二思路(切点弦方程请自己证明完成):点P为椭圆上一点,则点P(2cos?,sin?)对应的极线(即切点弦MN)方程为2xcos??ysin??3(y?sin?)?4?0?2xcos??(sin??3)y?3sin??4?0,由于圆
131313D:x2?y2?6y?4?0的圆心为(0,3),半径为13,弦心距d??[,],显然
42?3sin2??6sin??13222?PD2?x0?(y0?3)2??3y0?6y0?13??3(y0?1)2?16(?1?y0?0)?13?PD2?16,所以,0?MN?MN2?(0,3939. ],所以,0?MN?42
4 直线过定点和定直线问题
【例7】(2019?武汉期末)设P是直线l:2x?y?9?0上的任一点,过点P作圆x2?y2?9的两条切线PA、
PB,切点分别为A、B,则直线AB恒过定点 .
【解析】法一:因为P是直线l:2x?y?9?0上的任一点,所以设P(m,?2m?9),由于圆x2?y2?9的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,所以OA?PA,OB?PB,则点A、B在以OP为直径的圆上,即ABm2?(2m?9)2m2m?92是圆O和圆C的公共弦,则圆心C的坐标是(,?, ),且半径的平方是r?422m22m?92m2?(2m?9)2所以圆C的方程是(x?)?(y?,①又x2?y2?9,②,②?①得,)?224即公共弦AB所在的直线方程是:mx?(2m?9)y?9?0,即m(x?2y)?(9y?9)?0, mx?(2m?9)y?9?0,
?x?2y?0?x??2由?得,?,所以直线AB恒过定点(?2,?1),故答案为:(?2,?1).
9y?9?0y??1??法二:设点P的坐标为(m,?2m?9),因为点P对应的极线为直线AB,其方程为mx?(?2m?9)y?9,整理得(x?2y)m?9y?9,令9y?9?0,x?2y?0,可见直线AB过定点.故答案为:(?2,?1). (?2,?1)
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高中数学函数极点与极线探秘
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