数学分析选讲复习资料参考答案
一、选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）：
1、下列命题中，正确的是：
A、若f(x)在点x0连续，则f(x)在x0连续；
B、若 f(x)在(a,b)上连续；则对???0,f(x)在[a??,b??]上连续； C、若f(x)是初等函数，其定义域为(a,b)，则f(x)在(a,b)有界； D、函数y?f(x)在x0点连续的充要条件是f(x)在x0点的左、右极限存在. 答：（ B ） 2、当x?x0时，f(x)以B为极限，则
A、???0,???0,存在x满足0?x?x0??,有f(x)?B??; B、???0,???0,当0?x?x0??时，有f(x)?B??；
C、存在{xn},xn?x0(n?1,2L),xn?x0(n??)，使{f(xn)}不以B为极限； D、x?x0时，f(x)的极限存在. 答：（ B D ）
3、设函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上有
dbf?x?dx?f?x?； ?adxdxB、?f?t?dt?f?x?；
dxaA、
C、；f(x)在[a,b]上单调； D、f(x)在[a,b]上未必有最大值. 答：（ B ） 4、设级数?un收敛，则
A、?N?0, 当n?m?N时，um?um?1?L?un?1/2. B、
?un??n?1有界；
C、绝对收敛；
D、 limun未必存在
n??答：（ AB ） 5、若数列
?an??n?1满足limann???a，则下列说法正确的是（ B ）
A、???0, ?N?0,当n?N时，都有an?a??。 B、???0, ?N?0,当n?N时，都有an?a??。 C、???0, ?N?0,当n?N时，都有an?a??。 D、???0, ?N?0,当n?N时，都有an?a??。 6、下列定积分为0的是 （ C ）
A、?xexdx B、?cosxdx C、??111?11sinx D、dx??1xtanxdx ?1x2?117、设f(x)定义在[a,b]上，且f(x)在?a,b?上连续，则（ AC ） A、f(x)在[a,b]可积； B、f(x)在[a,b]上连续；
11C、对?n?N*,f(x)在[a?,b?]上连续；
nn D、f(x)在[a,b]上有界。 8、下列说法正确的是（ BD ）
A、若??un?vn?收敛，则?un收敛，?vn收敛；
n?1?n?1???n?1B、若?un收敛，?vn收敛，则??un?vn?收敛；
n?1???n?1n?1C、若?un收敛，则?un收敛；
n?1?n?1?D、若?un收敛，则数列?un?n?1收敛
n?1?二、填空题。
1sinx1、?2dx= 0
?1x?12、limsin2x的值为 2 ；
x?0x???3、若?an?a,?bn?b，??an?bn?= a+b ；
n?1n?1n?1?1?4、lim?1??? e2 . n???n?2n5、已知
?????ex2?2dx=2?n?1，则
???0ex2?2dx=
2? ； 2?n?1?lim6、极限??n???n?7、反常积分
?的值为 e ；
???11dx的值为 1 ； x2n??8、设??xn?1?收敛，则limxn? -1 。
n?12三、计算题 1、求不定积分?1dx
x?1?1解：令t?x?1，则x?t2?1，dx?2tdt，则原式???2?2ttdt?2?tdt t?1t?1t?1?11（C为任意常数） dt?2?1?dt?2t?2ln?t?1??C。
t?1t?1??x?1?3,x?0,?2、设f?x???x试确定a,b的值，使f在x?0处可导。
??ae?b,x?0,解：要使f在x?0处可导，则f在x?0处连续，所以ae?b?lim?aex?b?
x?0??limf?x??f?0??1，另一方面，f在x?0处可导当且仅当f在x?0处的左导?x?0数等于右
3导数，而
f?x??f?0?x?1??1?x3?3x2?3xf'??0??lim?lim?lim?3， ??x?0?x?0x?0xxxf?x??f?0?aex?b?1aex?1?ae?1aex?aeex?ef'??0??lim?lim?lim?lim?alimx?0?x?0?x?0?x?0?x?0?xxxxxex?alim?a，
x?0?1所以a?3，则b?1?3e。
1xsinx2 3、求极限limx?01?cos2x111111xsinxxsinxsinxsinxsinx2?lim2?lim2?lim22?1lim2?1. 解：原式limx?0sin2xx?0x?0x?01x2x2x?01x2x221??xcos,x?04、设f?x???，则：(1)f?x?在定义域上是否连续；(2)f?x?在x=0x??0,x?0处的导数值。
解：(1)当x?0时，f?x?显然连续；当x=0时，limf?x?=limxcosx?0x?01?0?f?0?，x由定义，f?x?在x=0处连续，从而f?x?在定义域上连续；
f?x??f?0??limx?0x?0x不可导。 (2)lim5、求定积分
xcos1x?limcos1，该极限不存在，所以f?x?在x=0处
x?0xx?10xexdx；
x10解：
?10xedx=xe?x??edx?e?e01xx10?e??e?1??1
xn6、求级数?n的收敛域。
3n?1ng解：??limnn??111?R??3。 ，则收敛半径ng3n3?1n?1n??当x?3时，级数为?，不收敛。
??1???1?当x??3时，级数为?，是交错级数，而??单调递减且趋于0，
n?1nn?n?n?1??1??xn故?收敛。因此，?nnng3?n?1n的收敛域为??3,3?。
n?17、求极限limnn2?2n。
n??解：当n充分大时，n2?2n，此时n2n?nn2?2n?n2n?2n，
故2=limn2n?limnn2?2n?limn2n?2n?limn2*2n=2，即limnn2?2n?2。
n??n??n??n??n??8、求极限limx?0sin2x??ln?1?t?dt0xx2。
解：由洛必达法则，
limx?0sinx??ln?1?t?dt20xx2=lim2sinxcosx?ln?1?x?sin2x?ln?1?x??lim?limx?0x?0x?02x2x2cos2x?11?x?322。
9、求极限limxe?2xlnx。
x???1xlnxlnx?1解：由洛必达法则，limxe?2xlnx=lim2x?lim?limx2x?0。 2xx???x???ex???2ex???4e10、求极限limn???n2?1?ncosn?。
：
?解
?lim?n?1?n?cosn?=lim2n??n??n2?1?n???2n2?1?ncosn?n?1?n???limn??cosn?n?1?n2?0
四、1、判断f(x)?解：f(x)??x?2??x?1?的不连续点，并指出类型。
x?1(x2?4)?x?2??x?1??x?1(x2?4)?x?2??x?1?x?1?x?2??x?2?，所以f?x?的不连续点为
x?1,?2,2。
对于x?1，limf?x??lim??x?1x?1?x?2??x?1??lim?x?2??x?1???1，
x?1(x?2)?x?2?x?1?x?1?(x?2)?x?2???x?1?limf?x??lim?x?1?x?2??x?1??lim?x?2??x?1??1，所以
x?1(x?2)?x?2?x?1??x?1?(x?2)?x?2?x?1是
f?x?的第一类间断点。 对于x??2，
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