第六章 第42炼 利用函数性质与图像比较大小 不等式
第42炼 利用函数性质与图像比较大小
一、基础知识：
（一）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：f?x?在?a,b?单调递增，则
?x1,x2??a,b?,x1?x2?f?x1??f?x2?(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函
数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）f?x?g?x??f'??''?x?g?x??f?x?g'?x?
?f?x??f'?x?g?x??f?x?g'?x?（2）? ??2gxgx??????3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：f'?x??0?f?x?单调递增；f'?x??0?f?x?单调递减
（2）定义形式：
f?x1??f?x2?f?x1??f?x2???0：表示函数值的差?0或?x1?x2????x1?x2与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整
（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较
（二）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系
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（1）若f?x?关于x?a轴对称，且?a,???单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若f?x?关于x?a轴对称，且?a,???单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小 三、例题精析：
例1：对于R上可导的任意函数f?x?，若满足
2?x?0，则必有（ ） 'f?x?A.f?1??f?3??2f?2? B. f?1??f?3??2f?2? C. f?1??f?3??2f?2? D. f?1??f?3??2f?2? 思路：由
2?x'?0可按各项符号判断出与2?xf???x?异号，即x?2时，'f?x?f'?x??0,x?2时，f'?x??0 ?f?x?在???,2?单调递减，在?2,+??上单调递增 ?f?x?min?f?2?，进而f?1??f?2?,f?3??f?2? ?f?1??f?3??2f?2?
答案：C
小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。这样做可以简化表达式的运算。
第六章 第42炼 利用函数性质与图像比较大小 不等式
例2： 已知定义域为R的奇函数f?x?的导函数为f'?x?，当x?0时，f'?x??f?x??0，x若a?1?1?f??,b??2f??2?,c?ln2f?ln2?，则下列关于a,b,c的大小关系正确的是（ ） 2?2?A. b?a?c B. a?c?b C. c?b?a D. b?c?a 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的a,b,c的结构均为xf?x?'的形式，故与不等式找到联系。当x?0时，f?x??f?x??0?xf'(x)?f(x)?0，即x?xf?x???0，令g?x??xf(x)，由此可得g?x?在?0,???上单调递增。f?x?为奇函数，
可判定出g?x?为偶函数，关于y轴对称。a?g?距离y轴近的函数值小，ln2 与进而可得：b?c?a 答案：D
例3：函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)?f(2?x)，且当x????,1?时，
'?1??,b?g??2?,c?g?ln2?，作图观察?2?11114可作差比较大小：ln2???2ln2?1??ln?0 2222e?x?1??1?，设a?f(0),b?f??,c?f(3)，则a,b,c的大小关系是（ ） f'(x)?0?2?A. a?b?c B. b?a?c C. b?c?a D. c?a?b 思路：由f(x)?f(2?x)可判断出f?x?关于x?1轴对称，再由?x?1?f(x)?0，可得x?1时，f''?x??0，所以f?x?在???,1?单调递增，由轴对称的特点可知：f?x?在?1,???单调递减。作出草图可得：距离x?1越近的点，函数值越大。所以只需比较自变量距离x?1的远近即可判断出b?a?c 答案：B
例4：已知f?x?是周期为2的偶函数，且在区间?0,1?上是增函数，则
f??5.5?,f??1?,f?0?的大小关系是（ ）
2020高考数学----利用函数性质与图像比较大小
