f(x,y)?3x五、解：1、由x???2?
2?3?0，
fy(x,y)?3?y?0得驻点(1,3),(?1,3)
在(1,3)处
A?fxx(1,3)?6,B?fxy(1,3)?0,C?fyy(1,3)??12因AC?B在(?1,3)处 因AC?B2、通解
?0,，所以在此处无极值 ???5?
A?fxx(?1,3)??6,B?fxy(?1,3)?0,C?fyy(?1,3)??12
?0,A?0，所以有极大值
f(?1,3)?152???8?
y?[?e?xe?dxdx?c]e?x??1dx ???3?
?xeyx?0?x?ce ???6?
?x?c?2
???8?
2特解为y?(x?2)e3、1)其对应的齐次方程的特征方程为 r?2r?8?0
有两不相等的实根r1?2,r2??4 所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?ae
?5ae?2e,a??xx2x?c2e?4x（c1,c2为?常数） ???3?
*x25
将其代入原方程得
y(x)??*25ex 故特解
???6?
2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e?4x?25ex???7?
高等数学（下）模拟试卷六参考答案
一、 填空题：（每空3分，共21分）
1、
?(x,y)x?1?2，5、?y?x?1??201， 2、2，3、2xcos(x22?y)dx?2ycos(x222?y)dy,
24、2d??10f(r)rdr，6、绝对收敛，7、y?x?c（c为?常数），
二、选择题：（每空3分，共15分）1、B，2、B，3、B，4、D，5、D 三、解：
1、令F(x,y,z)?z?3xyz?5???2?
3?z?x?z??FxFzFyFz?yzz2?xyxz ???4? ???6?
?y???z2?xy2、所求平面方程的法向量可取为?2,1,3????2?
则平面方程为：2(x?1)?y?3(z?2)?0???6?
3、原式
?1??10dx?x0(x2?y)dy2???4?
3 ???6?
P(x,y)?x?y,Q(x,y)??(x?siny),2?P?y??Q?x??1四、解：1、令
原式
????3?
?10(x?0)dx?2?10(1?siny)dy???6?
3 ???7?
2、令P?x,Q?y,R?z???2?
??cos1?5原式
????(??P?x??Q?y??R?z)dv???5?
???7? ? ?9????8?
3、(1) 此级数为交错级数 ???1?
lim1lnn?0???3dv1 因
n?? ，lnn?1ln(n?1)(n?2,3??) ???4?
故原级数收敛 ???5? (2) 此级数为正项级数???1?
?n?14sinlimn??33n?14sinn?n?43?1 因
???4? 故原级数发散 ???5? ，
fy(x,y)?4y?y2五、解：1、由
???3?
fx(x,y)?6x?6?0?0得驻点(?1,0),(?1,4)
在(?1,0)处
A?fxx(?1,0)?6,B?fxy(?1,0)?0,C?fyy(?1,0)?42因AC?B在(?1,4)处
?0,A?0，所以有极小值f(?1,0)??2 ???5?
A?fxx(?1,4)?6,B?fxy(?1,4)?0,C?fyy(?1,4)??42
因AC?B?0,，所以在此处无极值 ???7?
2、通解
y?[?eex??1dxxdx?c]e?dx ???3?
?(x?c)e ???5?
yx?0?c?1,
x特解为y?(x?1)e ???7?
1)对应的齐次方程的特征方程为 r2?5r?6?0 , 有两不相等的实根r1?2,r2?3 3、
2x3x所以对应的齐次方程的通解为 y?c1e 2)设其特解y(x)?(ax?b)e
*x?c2e（c1,c2为?常数） ???3?
2ax?3a?2b?x?1,a?12,b?54
将其代入原方程得
y(x)?(*12x?54)ex 故特解
???6?
2x3)原方程的通解为y?c1e?c2e3x?(12x?54)ex???7?
高等数学（下）模拟试卷七参考答案一．填空题：（每空3分，共
2t3y?C?()?y?1yt(x,y)|0?x?y?25??yxdx?xlnxdy 351. 2. 3.
22y 4. y?Cx 5.1?xy22 6.
y?e(C1cos2x?C2sin2x)x 7.8?8. 2
二．选择题：（每题3分，共15分）
1. D 2. D 3. B 4. C 5. B 三．求解下列微分方程（每题7分，共21分）
?z??z?u?u?x?z?u?u?y??z?v?v?x?z?v?v?y3n?1n?11.解：?x?z?y?2xy2ln(3x?4y)?23x22(3x?4y)y4x2 ………(4分)
????2xy3ln(3x?4y)?(3x?4y)y ………(7
2分)
2.解：limx??un?1un?limx??(n?1)?23nn?(5分)n?2 ?32?1???(6分)所以此级数发散????(7分)
3. 解：??eDx?y22dxdy=?=? 2? 0 2? 0d?12e1?r02erdr??(5分)1r2d?0
四．计算下列各题（每题10分，共40分）
1.解：原方程的通解为y?e???(e?1)??(7分)??xdx1x1[?lnxe??xdx1dx?c] ???(6分)=x[?lnx?x[12dx?C]?x[?lnxdlnx?C]2
(lnx)?C]?????????(10分)
2. 解：???x?y?dxdy=?D1 0dx? 1 0x 0?x?y?dy??(6分)12??(10分)12?x?=??xy?y?dx? 02??0 1?32xdx?2
??fx(x,y)??2x?6?03.解： 得驻点(3，2)和(3，-2)????(4分)?2f(x,y)?3y?12?0??yfxx(x,y)??2,fxy(x,y)?0,fyy(x,y)?6y在点(3，2)处，A=-2，B=0，C=12，AC?B=-24<0，故点(3，2)不是极值点????????(7分)在点(3，-2)处，A=-2，B=0，C=-12，AC?B=24>0，且A<0，222)是极大值点，极大值f(3,?2)?30??????(10分) 故点(3，14.解：此幂级数的收敛半径：R=limn??anan?1?limn??n4122n?4??(6分)n?1(n?1)4?x?4时幂级数变为?n=1?1n2是收敛的p-级数nx??4时幂级数变为?n=1?(-1)n2绝对收敛?????????????(8分) 所以?n?1x2nnn?4收敛域为[-4，4]????????????????(10分)
高等数学下册复习题模拟试卷和答案
