2 A??qt???外力所做的功为
S?(3n?13)(n?4)2?kdS?2 （14）
A???U?A?2(3n?13)(n?4)2?kd （15）
2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
q??C?q?S4?kx?(q??Q)S4?k(2d?x)2d?xd （16）
由（2）式和上式得 q??q???3q??Q （17）
上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.
整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
q??q??ct2?(n?1)q??q??2C?q??C?? （18）
将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量 q??
评分标准：
本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分.
第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分.
五、 参考解答:
如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度v水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为
??BLv （1） 式中L为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长
度，由几何关系有 L?2R12S?(3n?13)2?kd?(n?5)(2d?x)(3n?13)dQ （19）
a c l1 I1 l2 I I2 ?R???1??2R1 （2） ?100?2在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度L可视为不变，近似为2R1.将（2）式代入（1）式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为
11
b 图 1 d
??2BR1v （3） 以I、I1和I2分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以Uab表示a、b两端的电压，由欧姆定律有
Uab?I1l1r （4） Uab?I2l2r （5） 式中，l1和l2分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，l1和l2中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为 B1?km B2?kmI1l1R12 （6） （7）
I2l2R12B1方向竖直向上，B2方向竖直向下.
由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为 B0?B2?B1?0 （8） 无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场.
在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为
B3?km2IR1100 （9）
方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流 I?R??R左R右R左?R右 （10）
Ra I1 左 I Rab b ε I2 R右 其中R为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R左和R右分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故
Rab?2R1r,1 B3?左R=右R??R r （11） 1图 2 利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得
800kmvBR1(4r1??r0) （12）
由于小圆环半径R2??R1，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直
金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为 ?ab??R2B 3 （13） 2当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为
(?B)3 （14） ?cd??R22在长直金属杆以速度v从ab移动到cd的时间间隔?t内，穿过小圆环圆面的磁感应通
量的改变为
2?2?RB2 3 （15） ????cd??a?b由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为
12
?i?????t?2?R2B3?tR2B3r0?t2 （16）
在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为 Ii??i2?R2r0? （17）
于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔?t内通过小环导线横截面的电荷量为 Q?Ii?t?
评分标准：
本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分， （8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3分. 六、
参考解答：
设重新关闭阀门后容器A中气体的摩尔数为n1，B中气体的摩尔数为n2，则气体总摩尔数为
n?n1?n2 （1）
把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A中气体温度为T1?，B中气体温度为T2，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变化可表示为
?U?n1C?T1??T1??n2C?T2?T1? （2）
由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有
?U?0 （3）
R2B3r0?800kmvBR2R1r0(4r1??r0) （18）
令V1表示容器A的体积, 初始时A中气体的压强为p1，关闭阀门后A中气体压强为?p1，由理想气体状态方程可知
n?p1V1RT1 （4）
n1?(?p1)V1RT1? （5）
由以上各式可解得
T2??1???T1T1?
T1???T1由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热过程，设这部分气体初始时体积为V10(压强为p1时)，则有
13
C?RC?Rp1V10C?(?p1)V1C （6）
利用状态方程可得
p1V10T1(?p1)V1T1? ? （7）
由（1）至（7）式得，阀门重新关闭后容器B中气体质量与气体总质量之比
RCn2n?2??C?R??C?RR （8）
2????C?R
评分标准：
本题15分. （1）式1分，（2）式3分，（3）式2分，（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）式1分，（8）式3分.
七、
答案与评分标准：
1. 19.2 (4分，填19.0至19.4的，都给4分)
10.2 (4分，填10.0至10.4的，都给4分)
2. 20.3 (4分，填20.1至20.5的，都给4分) 4.2 (4分，填4.0至4.4的，都给4分) 八、
参考解答：
在相对于正离子静止的参考系S中，导线中的正离子不动，导电电子以速度v0向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系S?中，导线中导电电子不动，正离子以速度v0向上匀速运动.下面分四步进行分析.
第一步，在参考系S?中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S系中一些正离子所占据的长度为l，则在S?系中这些正离子所
?，由相对论中的长度收缩公式有 占据的长度变为l???l1? l?v0c22 （1）
设在参考系S和S?中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为?和???，由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关，故
?l????l （2） ??由（1）和（2）式得
14
?????1?vc202 （3）
设在S系中一些导电电子所占据的长度为l，在S?系中这些导电电子所占据的长度为l??，则由相对论中的长度收缩公式有
?1? l?l?v0c22 （4）
同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有 ??????1?vc202 （5）
式中，??和???分别为在参考系S和S?中单位长度导线中导电电子的电荷量.
在参照系S?中，导线2单位长度带的电荷量为 ????????????1?vc202?(??)1?v0c22??1?vc202v0c22 （6）
它在导线1处产生的电场强度的大小为 E??2ke??a?22ke?v0ca1?2202 （7）
vc电场强度方向水平向左.导线1中电荷量为q的正离子受到的电场力的大小为 fe ???qE??2keq?v0ca1?22202 （8）
vc电场力方向水平向左.
第二步，在参考系S?中，考虑导线2对导线1中正离子施加磁场力的大小和方向.在参考系S?中，以速度v0向上运动的正离子形成的电流为
I?????v0??v01?vc202 （9）
导线2中的电流I?在导线1处产生磁场的磁感应强度大小为 B??2kmI?a?2km?v0a1?vc202 （10）
磁感应强度方向垂直纸面向外.导线1中电荷量为q的正离子所受到的磁场力的大小为
15
fm? ??qv0B??2kmq?v0a1?vc2022 （11）
方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反.
第三步，在参考系S中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的大小和方向.由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷的和为零，即
??(??)?0 （12） 因而，导线2对导线1中正离子施加电场力为零
fe??0 （13） 注意到在S系中，导线1中正离子不动
v1+?0 （14） 导线2对导线1中正离子施加磁场力为零
fm??qv1+B?0 （15） 式中，B是在S系中导线2的电流在导线1处产生的磁感应强度的大小.于是，在S系中，导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零.
第四步，已说明在S系中导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其它力的合力必为零 (因为正离子静止).在S?系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为
???fe?? (16) f??fm因为相对S?系，上述可能存在的其它力的合力仍应为零，而正离子仍处在勻速运动状态，所以(16)式应等于零，故
???fe?? （17） fm
由（8）、（11）和（17）式得
评分标准：
本题18分. （1）至（18）式各1分.
kekm?c2 （18）
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第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案
