评分标准：
本题23分.
第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.
第2问7分，(11)式1分， (13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数值结果允许有5%的相对误差） 三、 解法一
如图1所示，建直角坐标Oxy，x轴与挡板垂直，
y B O y 轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为v0，方向
沿x轴正方向，以P表示系统的质心，以vPx和vPy表
示碰撞后质心的速度分量，J表示墙作用于小球C的
A 冲量的大小. 根据质心运动定理有
?J?3mvPx?3mv0 （1） 0?3mvPy?0
? P x （2） （3）
? lCP 由（1）和（2）式得 vPx?3mv0?J3m vPy?0 （4） 可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球C与挡板碰撞过程中，质心的坐标为 xP??lco?s （5）
13C 图1
yP??lsin? （6）
球C碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球C碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为?，则三小球对质心P的角动量
222 L?m?AlP?m?BlP??m l （7）CP式中lAP、lBP和 lCP分别是A、B和C三球到质心P的距离，由图1可知
222 lAP?lcos??19lsin?22 （8）
lBP?2219lsin?2222 （9）
49lsin?22lCP?lcos?? （10）
由（7）、（8）、（9）和（10）各式得
L?23ml?(1?2cos?)22 （11）
在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量J的冲量矩，即有 J23lsin?? L （12）
【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的
6
参考点，则对该参考点(12)式也成立】
由（11）和（12）式得
??Jsin?ml(1?2cos?)2 (13)
(14)
球C相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）
vCPx???lCPsin????(lsin??|yP|)vCPy???lCPcos????lcos? (15)
球C相对固定参考系速度的x分量为
vCx?v由（3）、（6）、（13） 和 （16）各式得 vCx??CPx?vJ P （16）
?v0
m(1?2cos?)2 （17）
根据题意有
vCx?0 （18）由（17）和（18）式得
2J?mv0(1?2cos?) （19）
由（13）和（19）式得
vsin?y （20） ??0l球A若先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，
整个系统至少应绕质心转过???角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过???所需时间
1t?2A x O （21） ?P 在此时间内质心沿x方向向右移动的距离 B ?x?vPxt （22） ?若
yP??x?xP （23） C 则球B先于球A与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得 ??arctan31?? （24）
图2
即
? ??36 (25)
评分标准：
本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.
解法二
7
如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，
yy vAyvBy 轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分
别表示球C与挡板刚碰撞后A、B和C三球速度的分量， A 根据题意有
vCx?0 （1） 以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴
的负方向，根据质点组的动量定理有 ?J?mvAx?mv 0?mvAy?mvBx vAxB vBx O ?P vCy x 3?mv 0 （2）
CC 图1
By?mv C （3）
以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有
??mvAy?lco?s? Jlsinlc?os?vmB?yl?co?svm0l ? s i n （4）
因为连结小球的杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vB x （5）
vCysin??vvAxco?s?vBysi?n?vBxc?o s （6） （7）
Aysi?n??vCys?in
（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
co?s?sin??2co?s1?3co?ssin?1?3cos?22 （8） （9）
解以上各式得
J?mv0(1?2c2o?s ) （10）
2 vAx?v0sin? （11）
sin? vAy?v0c?os （12）
2sin? （13） vBx?v0 vBy?0 （14）
sin? vCy??v0c?os
（15）
按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力作
用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角速度，
8
可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?vPy?mvAx?mvBx?mvCx3mmvAy?mvBy?mvCy3m?23v0sin?2 （16）
?0 （17）
这时系统质心的坐标为
xP??lco?s （18）
yP??13lsin? （19）
不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为yP，而球B相对质心的速度
vBPx?vvBPyBx?vPx1?3vsin?02 （20）
?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度 ??vBPxyP?v0sin?l （22）
y 若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板
碰撞后，整个系统至少应绕质心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间
1
t?2πA （23）
O x ?在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
P ?x?vPxt （24） B 若
yP??x?xP （25） C 则球B先于球A与挡板碰撞. 由以上有关各式得 ??arctan即
?31?? （26）
图2
??36 (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分. 四、
参考解答：
1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等
9
效电容Ct1满足下式
即
Ct1?式中
C?S4?kd2Cn1Ct1?n2C （1）
（2）
（3）
虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2满足下式
即
Ct2?C21Ct211?1??2????????
4C8C?2C? （4）
（5）
整个电容网络的等效电容为
Ct?CtC1Ct1?Ct2?t2C2n?4 （6）
等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和） qt?Ct??
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等
?满足下式 效电容Ct1 由此得
?? Ct16C3n?11?Ct1?n?12C?23CS?(n?4)2?kd （7）
（8）
（9）
整个电容网络的等效电容为
Ct???Ct2Ct1??Ct2Ct1?6C3n?13 （10）
整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
qt??Ct???为
?qt?qt??qt??电容器储能变化为 ?U?123S?(3n?13)2?kd （11）
在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变
S?(3n?13)(n?4)2?kd （12）
?C??t2?Ct?2???S?22(3n?13)(n?4)2?kd （13）
在此过程中，电池所做的功为
10
第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷答案
