第十八届全国中学生物理竞赛复赛试卷、参考答案
全卷共六题，总分140分。 一、（22分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率ｎ＝ 1.5 ，中心轴线长Ｌ＝ 45cm，一端是半径为Ｒ1 ＝ 10ｃｍ的凸球面．1．要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2．对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度φ１ 时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度φ２ ，求φ２／φ１（此比值等于此玻璃棒望远系统的视角放大率）．
解：1．对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图18－2－6所示，图中Ｃ1为左端球面的球心．
图18－2－6
由正弦定理、折射定律和小角度近似得 （
－Ｒ１）／Ｒ１＝ｓｉｎｒ１／ｓｉｎ（ｉ１－ｒ１）≈ｒ１／（ｉ１－ｒ１）
＝1／（（ｉ１／ｒ１）－1）≈1／（ｎ－1）， ① 即 （
／Ｒ１）－1＝1／（ｎ－1）． ②
光线ＰＦ１射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心Ｃ２一定在端面顶点Ｂ的左方，Ｃ２Ｂ等于球面的半径Ｒ２，如图18－2－6所示． 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 （又有
／Ｒ２）－1＝1／（ｎ－1）， ③ ＝Ｌ－
，④
由②、③、④式并代入数值可得 Ｒ２＝5ｃｍ．
则右端为半径等于5ｃｍ的向外凸的球面．
图18－2－7
1
2．设从无限远处物点射入的平行光线用①、②表示，令①过Ｃ１，②过Ａ，如图18－2－7所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点Ｍ，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求Ｍ点的位置，在△ＡＣ１Ｍ中，有
／ｓｉｎ（π－φ１）＝
／ｓｉｎφ１＝Ｒ１／ｓｉｎ（φ１－φ１′），
又 ｎｓｉｎφ１′＝ｓｉｎφ１，
已知φ１、φ１′均为小角度，则有
／φ１＝Ｒ１／φ１（1－（1／ｎ））．
≈
，即Ｍ位于过Ｆ１垂直于主光轴的平面上．上面已知，玻璃
与②式比较可知，
棒为天文望远系统，则凡是过Ｍ点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线．容
易看出，从Ｍ射出Ｃ２的光线将沿原方向射出，这也就是过Ｍ点的任意光线（包括光线①、②）从玻璃棒射出的平行光线的方向，此方向与主光轴的夹角即为φ２，由图18－2－7可得 2／φ１＝
／
＝（
－Ｒ１）／（
－Ｒ２），
由②、③式可得（－Ｒ１）／（－Ｒ２）＝Ｒ１／Ｒ２，
则φ２／φ１＝Ｒ１／Ｒ２＝2．
二、（22分）正确使用压力锅的方法是：将已盖好密封锅盖的压力锅（如图复18-2-1）加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀Ｓ，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气已全部排除．然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度（即设计时希望达到的温度）．现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为120℃，某人在海拔5000ｍ的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水．
1．若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？
2．若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？
3．若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀，此时水温为27℃，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水．
2
已知：水的饱和蒸气压ｐＷ（ｔ）与温度ｔ的关系图线如图18-2-2所示．
大气压强ｐ（ｚ）与高度ｚ的关系的简化图线如图18-2-3所示．当ｔ＝ 27℃时，ｐＷ
３５
（27°）＝3.6×10Ｐａ；ｚ＝ 0处，ｐ（0）＝ 1.013×10Ｐａ．
3
解：1．由图18－2－8知在海平面处，大气压强ｐ（0）＝101．3×10Ｐａ．在ｚ＝5000ｍ时，大气压强为
３
ｐ（5000）＝53×10Ｐａ．
３
图18－2－8
图18－2－9
此处水沸腾时的饱和蒸气压ｐＷ应等于此值．由图18－2－9可知，对应的温度即沸点为 ｔ２＝82℃．
达到此温度时，锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在5000ｍ高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达82℃．
３
2．由图18－2－9可知，在ｔ＝120℃时，水的饱和蒸气压ｐＷ（120°）＝198×10Ｐａ，
３
而在海平面处，大气压强ｐ（0）＝101×10Ｐａ．可见压力阀的附加压强为 ｐＳ＝ｐＷ（120°）－ｐ（0）
３３
＝（198×10－101．3×10）Ｐａ
３
＝96．7×10Ｐａ．
在5000ｍ高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为 ｐ′＝ｐＳ＋ｐ（5000）
３３
＝（96．7×10＋53×10）Ｐａ ＝149．7×103Ｐａ．
若在ｔ＝ｔ２时阀被顶起，则此时的ｐＷ应等于ｐ′，即 ｐＷ＝ｐ′，
由图18－2－9可知ｔ２＝112℃．
4
此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在5000ｍ高山上锅内水的温度最高可达112℃．
3．在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸汽已饱和．由
３
图18－2－9可知，在ｔ＝27℃时，题中已给出水的饱和蒸气压ｐＷ（27°）＝3．6×10Ｐａ，这时锅内空气的压强（用ｐａ表示）为 ｐａ（27°）＝ｐ（5000）－ｐＷ（27°）
３３
＝（53×10－3．6×10）Ｐａ
３
＝49．4×10Ｐａ．
当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为ｔ（℃）时，锅内空气压强为ｐ
，则有 ａ（ｔ）
ｐａ（ｔ）／（273＋ｔ）＝ｐａ（27℃）／（273＋27），
３
ｐａ（ｔ）＝（164．7ｔ＋45．0×10）Ｐａ． 若在ｔ＝ｔ′时压力阀刚好开始被顶起，则有 ｐＷ（ｔ′）＋ｐａ（ｔ′）＝ｐ′， 由此得
３
ｐＷ（ｔ′）＝ｐ′－ｐａ（ｔ′）＝（105×10－164．7ｔ′）Ｐａ， 画出函数ｐ′－ｐａ（ｔ′）的图线，
３
取ｔ＝0℃，有 ｐ′－ｐａ（0℃）＝105×10Ｐａ，
３
取ｔ＝100℃，有 ｐ′－ｐａ（100℃）＝88．6×10Ｐａ．
由此二点便可在图18－2－9上画出此直线，此直线与图18－2－9中的ｐＷ（ｔ）－ｔ曲线的交点为Ａ，Ａ即为所求的满足上式的点，由图可看出与Ａ点对应的温度为 ｔ′＝97℃．
即在压力阀刚开始被顶起时，锅内水的温度是97℃，若继续加热，压力阀被顶起后，锅内空气随水蒸汽一起被排出，最终空气排净，锅内水温仍可达112℃．
碰撞后二者的速度ｖＡ和ｖＢ在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子．如欲碰后发出一个光子，试论证：速度ｖ０至少需要多大（以ｍ／ｓ表示）？
－19
已知电子电量ｅ＝ 1．602×10Ｃ，质
－27
子质量为ｍｐ＝ 1．673×10ｋｇ，电
－31
子质量为ｍｅ＝ 0．911×10ｋｇ，氢原子的基态能量为Ｅ１＝ －13．58ｅＶ． 解：为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是ｎ＝2的第一激发态．已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比．即
２
Ｅｎ＝ｋ１／ｎ， ①
又知基态（ｎ＝1）的能量为－13．58ｅＶ，即
5
第十八届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案
