天幕数学
第9讲 离散型随机变量和超几何分布
[玩前必备]
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1 3．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率
nk
CkMCN－M
为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，
CnN
－
N∈N*，称分布列为超几何分布列.
X P 0 n0C0MCN－M CnN－1 n1C1MCN－M CnN－… … m nmCmMCN－M nCN－4．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)D(X)＝∑ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均i＝1偏离程度，其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差．
[玩转典例]
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n
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题型一 离散型随机变量分布列的性质 例1 设随机变量X的分布列如下：
X P
则p为( ) 1111A. B. C. D. 63412
例2 若离散型随机变量X的分布列为
X P
则X的均值E(X)等于( ) 11
A．2 B．2或 C. D．1
22[玩转跟踪]
1.设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)等于( )
X P
7151
A. B. C. D. 122126
k17
ξ＝?＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P?<ξ
A. B. C. D. 5555题型二 分布列的求法
2
例3 设某人有5发子弹，当他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续
3两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X的分布列．
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1 1 122 1 63 1 34 1 65 p 0 a 21 a2 21 1 62 1 43 m 4 1 3天幕数学
[玩转跟踪]
1.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
题型三 均值与方差
例4 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损7215%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，311
也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 5315
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
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[玩转跟踪]
1．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过11112
小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪
4623时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
题型四 超几何分布
例5 (2017·山东)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与均值E(X)．
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[玩转跟踪]
1．PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM2.5日均值(微克/立方米) 频数
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
[玩转练习]
1.（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 [25,35) 3 [35,45) 1 [45,55) 1 [55,65) 1 [65,75) 1 [75,85] 3 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
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艺体冲刺i第9讲 离散性随机变量和超几何分布学生
