第十讲 代数式的化简与求值
趣题引路】
如图10-1所示的八个点处各写一个数字，已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点1?e?f?g?h?2处的数字的平均数，则代数式 =_____________． 1a?b?c?d??e?f?g?h?3a?b?c?d?aehdfb图10-1gc
d?b?ea?c?fb?d?ga?c?h ， b=，c=，d=． 33332?a?b?c?d???e?f?g?h?∴a+b+e= ．
3解答如下：∵a=
设a+b+c+d=m，e+f+g+h=n. ∴a+b+c+d=∴m=
2m?n 32m?n， 3∴m=n．
即a+b+c+d=e+f+g+h． a?b?c?d?11?e?f?g?h?m?n2m?n32m?m33322===???，应填． 1123m?n23m?m44a?b?c?d??e?f?g?h?m?n33
知识拓展】
1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．
2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：
（1）因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； （2）运算律，适当运用运算律，也有助于化简； （3）换元、配方、待定系数法、倒数法等；
（4）有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．
()
x4?6x3?2x2?18x?23例1 已知x＝4?3，求的值．
x2?8x?15解析：由已知得(x－4)2＝3，即x2－8x＋13＝0．
x2(x2?8x?13)?2x(x2?8x?13)?(x2?8x?13)?1010x4?6x3?2x2?18x?23所以＝＝＝5．
(x2?8x?13)?2x2?8x?152点评：本题使用了整体代换的作法．
例2 已知x＋y＋z＝3a（a≠0），求
(x?a)(y?a)?(y?a)(z?a)?(z?a)(x?a)的值．
(x?a)2?(y?a)2?(z?a)2解析：分式的分子、分母是轮换对称形式，可考虑用换元法． 解：由x＋y＋z＝3a，得(x－a)(y－a)(z－a)＝0． 设x－a＝m，y－a＝n，z－a＝p，则m＋n＋p＝0． ∴p＝－(m＋n)．
mn?(m?n)2?m2?mn?n2mn?np?mpmn?p(m?n)1∴原式＝2＝＝＝＝． ?m2?n2?(m?n)22(m2?mn?n2)m?n2?p2m2?n2?p22点评：实际上，本例有巧妙的解法，将m＋n＋p＝0两边平方，得m2＋n2＋p2＝－2(mn＋np＋mp)，∴mn?np?mp1＝?． 222m?n?p2
例3 已知
a?b?ca?b?c?a?b?c(a?b)(b?c)(c?a)＝＝，求的值． cbaabc解析：对于分式等式，如出现两个（或两个）以上的等于号，可设为一个字母为k． 解：设
a?b?ca?b?c?a?b?c＝＝＝k（k≠0）． cba?a?b?c＝ck，①?∴?a?b?c＝bk，② ??a?b?c＝ak．③?①＋②＋③，得：k(a＋b＋c)＝a＋b＋c．
当a＋b＋c≠0时，k＝1，此时a＋b＝2c，a＋c＝2b，b＋c＝2a． ∴
(a?b)(b?c)(c?a)2a?2b?2c＝＝8．
abcabc(?a)?(?b)?(?c)＝－1．
abc当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，a＋c＝－b，b＋c＝－a． ∴原式＝
点评：注意本例须按a＋b＋c等于零和不等于零两种情况进行讨论．
例4 已知a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝3，求（1）abc的值；（2）a4＋b4＋c4的值． 解析：∵a2＋b2＋c2＝2，
∴(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝2．
()
1∴ab＋bc＋ca＝?．
2又∵a3＋b3＋c3＝3，
∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＋3abc＝3． ∴1×(2＋∴abc＝
1)＋3abc＝3． 211，即abc的值为． 6614又∵a4＋b4＋c4＝(a2＋b2＋c2)2－2(a2b2＋b2c2＋c2a2)＝4－2[(ab＋bc＋ca)2－2abc(a＋b＋c)]＝4－2(
125－2××1)＝．
66∴a4＋b4＋c4的值为
25． 6点评：这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．
好题妙解】
佳题新题品味
例1（2003年河北初中数学应用竞赛题）同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是
a?b（a＞0，2b＞0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．不能确定
解析 用代数式表示三个商场提价后的价格，再比较大小． 解：（1）甲商场两次提价后，价格为(1＋a)(1＋b)＝1＋a＋b＋ab． （2）乙商场两次提价后，价格为(1＋
a?ba?ba?b2)(1＋)＝1＋(a＋b)＋()： 222（3）丙商场两次提价后，价格为(1＋b)(1＋a)＝l＋a＋b＋ab． 因为(a?b2a?b2)－ab＞0，所以()＞ab． 22故乙商场两次提价后，价格最高．选B．
111111例2 已知非零实数a、b、c满足a2＋b2＋c2＝1，a(?)?b(?)?c(?)＝－3，求a＋b＋c的
bcacab值．
解析：因为abc≠0，在已知的第二个等式两边同乘以abc，得a2(c＋b)＋b2(c＋a)＋c2(b＋a)＝－3abc，即ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ac(a＋c)＋3abc＝0．将3abc拆开为abc＋abc＋abc，可得ab(a＋b＋c)＋bc(a＋b＋c)＋ac(a＋b＋c)＝0．
于是(a＋b＋c)(ab＋bc＋ac)＝0．所以a＋b＋c＝0或ab＋bc＋ac＝0．
()
若ab＋bc＋ac＝0，由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝1得a＋b＋c＝±1．\\ 所以a＋b＋c的值可能为0，－1，1．
中考真题欣赏
例1（2003年陕西中考题）先化简，再求值：
x?1(x?1)3x?3，其中x＝3?1． ??x2?1x4?1x?1x?1(x2?1)(x?1)(x?1)x?3x?1x?32解析：原式＝2＝＝． ???x?1(x?1)3x?1x?1x?1x?1当x＝3?1时，原式＝
23?2＝4?23．
例2（重庆市）阅读下面材料：
在计算3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式S＝na＋
n(n?1)×d计算它们的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值），210(10?1)×2＝120． 2那么3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋
用上面的知识解决下列问题：
为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地．由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．
1995年 1996年 1997年 每年植树的面积（亩） 1 000 1 400 1 800 植树后坡荒地的实际面积（亩） 解析：1996年减少了25 200－24 000＝1 200． 1997年减少了24 000－22 400＝1 600． ……
m年减少了1 200＋400×(m－1 996)．
25 200 24 000 22 400 1 200＋1 600＋…＋1 200＋400(m－1 996)＝25 200． 令n＝m－1 995，得
()
n?1200?n(n?1)?400 2?n?n?1??=400??n?3???25200
2????∴ 3n?n(n?1)?63 2 6n+n(n-1)=126 n+5n-126=0.
n1=9，n2=-14（舍去）. m=1995+9=2004.
∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木。
竞赛样题展示
例1 （2003年“信利杯”）某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数?3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ）
A.1种 B.2种 C.4种 D.0种
解析 设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n-1），由题意可知kn?2
n(n?1)?100，即n?2k?(n?1)??200.因为k，n都是正整数，且n≥3，所2以n<2k+（n-1），且n与2k+（n-1）的奇偶性不同。将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.选B
例2 （第17届江苏省竞赛初三）有两道算式： 好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，
其中每个汉字表示0～9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字.那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是____________.
解析 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8.显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：
（1）“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为2×11×（真×10+1）=2002+题×110， 即 真×10+1=91+题×5.
上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91. 由此得“真”=9，“题”=0，“妙题题妙”=2002. （2）“好”=4，“妙”=8，乘法式为 8×44×（真×10+4）=8008+题×110. 即 704+1760×真=4004+题×55.
在0～9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符。 ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十讲 代数式的化简与求值(含答案)
