(整理)复合函数定义域

由天下分享时间：2024/12/26 1:09:56 加入收藏我要投稿点赞

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专题：复合函数的定义域

第一步：函数概念及其定义域函数的概念：设是A,B非空数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的函数，记作：y?f(x),x?A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值.

第二步：复合函数的定义一般地：若y?f(u)，又u?g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数

y?f[g(x)]叫x的复合函数，其中y?f(u)叫外层函数，u?g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一

个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如:

f(x)?3x?5,g(x)?x2?1；复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)，

f(g(x))?3g(x)?5?3(x2?1)?5?3x2?8

问：函数f(x)和函数f(x?5)所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x的取值范围，这里x和x?5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）

第三步：介绍复合函数的定义域求法

例1. 已知f(x)的定义域为?3,5?，求函数f(3x?2)的定义域；解：由题意得 Q?3?x?5 ??3?3x?2?5 ?1?3x?7 ?? 所以函数f(3x?2)的定义域为??1,7?.

???33??17?x? 33练1.已知f(x)的定义域为(0，3]，求f(x?2x)定义域。

解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

2??x??2，或x?0?x?2x?0? 0?x?2x?3?? ?2?3?x?1???x?2x?32即?3?x??2或0?x?1 故f(x?2x)的定义域为??3,?2???0,1? 例2. 若函数f?3?2x?的定义域为??1,2?，求函数f?x?的定义域

22解:由题意得 ??2?x?3 ??6?3x?9 ??4?2?3x?11 所以函数f(x)的定义域为：??4,11? 例3. 已知f(x?1)的定义域为[?2，3)，求f?x?2?的定义域。解由f(x?1)的定义域为[?2，3)得?2?x?3，故?1?x?1?4

即得f?x?定义域为[?1，4)，从而得到?1?x?2?4，所以1?x?6 故得函数f?x?2?的定义域为?1,6?

例4. 已知函数f?x?定义域为是[a,b]，且a?b?0,求函数h?x??f?x?m??f?x?m??m?0?的定义域解: ??a?x?m?b?a?m?x?b?m，?m?0,?a?m?a?m ???a?x?m?b?a?m?x?b?mb?m?b?m，又a?m?b?m 要使函数h?x?的定义域为非空集合，必须且只需a?m?b?m，即

b?a，这时函数h?x?的定义域为[a?m,b?m] 0?m?2第四步：总结解题模板

1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g?x?]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x??a,b?，求出f[g(x)]中a?g(x)?b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。 2.已知复合函数f[g?x?]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[g?x?]的定义域为x??a,b?，则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。 3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g?x?]定义域求得f?x?的定义域，再由f?x?的定义域求得f[h?x?]的定义域。

4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 -------------

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浅析复合函数的定义域问题

一、复合函数的构成设u?g(x)是A到B的函数，y?f(u)是B'到C'上的函数，且B?B'，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么y?f(g(x))就是A到C上的函数。此函数称为由外函数y?f(x)和内函数u?g(x)复合而成的复合函数。说明：

⑴复合函数的定义域，就是复合函数y?f(g(x))中x的取值范围。 ⑵x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域。 ⑶f(g(x))与g(f(x))表示不同的复合函数。

例1．设函数f(x)?2x?3,g(x)?3x?5，求f(g(x)),g(f(x))． ⑷若f(x)的定义域为M'，则复合函数f(g(x))中，g(x)?M．注意：g(x)的值域M?M'．

例2：⑴若函数f(x)的定义域是[0，1]，求f(1?2x)的定义域； ⑵若f(2x?1)的定义域是[-1，1]，求函数f(x)的定义域； ⑶已知f(x?3)定义域是??4,5?，求f(2x?3)定义域．

要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的．解答：⑴ 函数f(1?2x)是由A到B上的函数u?1?2x与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数．

?函数f(x)的定义域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函数u?1?2x的值域为[0，1]．

∴0?1?2x?1，∴?1??2x?0，即0?x?1，∴函数f(1?2x)的定义域[0，

21]． 2⑵ 函数f(2x?1)是由A到B上的函数u?2x?1与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数．

?f(2x?1)的定义域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1?x?1，

∴?3?2x?1?1,即u?2x?1的值域是[-3，1]，∴y?f(x)的定义域是[-3，1]．要点2：若已知

f(x)的定义域为A，则f[g(x)]的定义域就是不等式g(x)?A的x的集合；若已知

f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域就是函数g(x) (x?A)的值域。

⑶ 函数f(x?3)是由A到B上的函数u?x?3与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数．

?f(x?3)的定义域是[-4，5),∴A=[-4,5)即?4?x?5，∴?1?x?3?8即u?x?3的值域B=[-1，8）

又f(2x?3)是由A'到B'上的函数u'?2x?3与B到C上的函数y?f(u)复合而成的函数，而B?B',从而

u'?2x?3的值域B'?[?1,8) ∴?1?2x?3?8∴2?2x?11,∴1?x?∴f(2x?3)的定义域是[1，

11 211）． 2例3：已知函数f(x)定义域是（a,b），求F(x)?f(3x?1)?f(3x?1)的定义域．

?x?a?3x?1?b?a?1b?1，即??解：由题，?，，当b?a?b?2时，F(x)不表示函数； 33?????33??a?3x?1?ba?1b?1??x??3?3??a?b?a?1b?1-------------

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?a?1b?1?a?1b?1?当?3,)． 3，即a?b?2时，F(x)表示函数，其定义域为(33??a?b说明： ① 已知f(x)的定义域为(a,b)，求f(g(x))的定义域的方法：

已知f(x)的定义域为(a，b)，求f(g(x))的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即u?(a，b)，g(x)?(a，b)。通过解不等式a?g(x)?b求得x的范围，即为f(g(x))的定义域。 ② 已知f(g(x))的定义域为(a,b)，求f(x)的定义域的方法：

若已知f(g(x))的定义域为(a，b)，求f(x)的定义域。实际上是已知复合函数f(g(x))直接变量x的取值范围，即x?(a，b)。先利用a?x?b求得g(x)的范围，则g(x)的范围即是f(x)的定义域,即使函数f(x)的解析式形式所要求定义域真包含g(x)的值域，也应以g(x)的值域做为所求f(x)的定义域，因为要确保所求外含数f(x)与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数f(x)将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数f(g(x))的外函数f(x)，如果外函数f(x)的定义域不等于内函数g(x)的值域，那么f(x)就确定不了f(g(x))的最值或值域。例4：已知函数f(x)?分析：令u(x)?复合函数

x?1?x,(x?1) 求f(x)的值域。

x?1，(x?1)；则有g(u)?u2?u?1，(u?0)

2x?1与g(u)?u2?u?1复合而成，而g(u)?u?u?1，(u?0)的值域即

f(x)是由u(x)?2f(x)的值域，但g(u)?u?u?1的本身定义域为R,其值域则不等于复合函数

f(x)的值域了。

x2例5：已知函数f(x?3)?lg2，求函数

x?622f(x)的解析式，定义域及奇偶性。

x2u?32 分析：因为f(x?3)?lg2定义域为{x|x??6或x?6} 令u?x?3，则f(u)?lg，u?3；

x?6u?3且u?3 所以 f(x)?lg然而只就f(x)?lgx?3,x?3，定义域不关于原点对称，故x?3f(x)是非奇非偶函数。

x?3解析式而言，定义域是关于原点对称的，且f(?x)??f(x)，所以是奇函数。就本题而x?32言f(u)就是外函数其定义域决定于内函数u?x?3，u?3的值域，而不是外函数f(u)其解析式本身决定的定义域了。

2．求有关复合函数的解析式，

例6．①已知 f(x)?x?1,求f(x?1)；