第一学期期末高等数学试卷
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分)
2、(本小题5分)
x3?12x?16求极限 lim3x?22x?9x2?12x?4
xdx.22(1?x)
1x
求?3、(本小题5分)
x??求极限limarctanx?arcsin4、(本小题5分)
求?5、(本小题5分)
xdx.1?x
d求dx?x201?t2dt．
6、(本小题5分) 7、(本小题5分)
求?cot6x?csc4xdx.
求?2?1?8、(本小题5分)
11cosdx．2xx
9、(本小题5分)
30t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint
求?x1?xdx．10、(本小题5分)
求函数 y?4?2x?x2的单调区间11、(本小题5分)
?20Y
sinxdx．8?sin2x
12、(本小题5分)
求?13、(本小题5分)
设 x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．
设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求14、(本小题5分) 15、(本小题5分)
dy．dx
求函数y?2ex?e?x的极值
16、(本小题5分)
(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)
求?二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)
cos2xdx.1?sinxcosx
2、(本小题7分)
某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.
x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.
三、解答下列各题
( 本 大 题6分 )
一学期期末高数考试(答案)
一、解答下列各题
(本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分)
2、(本小题3分)
3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12
6x ?limx?212x?18
?2
3、(本小题3分)
x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2 11???c.21?x2 因为arctanx??2而limarcsinx??故limarctanx?arcsinx??4、(本小题3分)
1?0x
1?0x
5、(本小题3分)
x?1?xdx
1?x?1???dx1?x
dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c.
d求dx?x201?t2dt．
6、(本小题4分)
6原式?2x1?x4
4?cotx?cscxdx
???cotx(1?cotx)d(cotx)
627、(本小题4分)
11??cot7x?cot9x?c.79
11cosdx．2xx 211?原式???1cosd()xx ?求?
??1 8、(本小题4分)
2?1?1??sinx2??1
t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint
2tdye(2sint?cost)解： ?tdxe(cost2?2tsint2)
9、(本小题4分)
30et(2sint?cost) ?(cost2?2tsint2)
求?x1?xdx．
令 1?x?u
原式?2?(u4?u2)du12
10、(本小题5分)
uu2?)153 116?15
?2(求函数 y?4?2x?x2的单调区间
53解：
函数定义域(??,??)
y??2?2x?2(1?x)当x?1，y??0
???,1?当x?1， y??0函数单调增区间为11、(本小题5分)
?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为求??20sinxdx．8?sin2x
?原式???20dcosx9?cos2x
?12、(本小题6分)
13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6
设 x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．
解：dx?x?(t)dt
13、(本小题6分)
?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt
设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求2yy??2y??6x5y
dy．dx
14、(本小题6分)
3yx5y??2y?1
求函数y?2ex?e?x的极值
解：定义域(??，??),且连续
1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22
由于y???2ex?e?x?0
11故函数有极小值,,y(ln)?2222
15、(本小题8分)
16、(本小题10分)
(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)
1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2xxxx原式?limx??11(10?)(11?)xx
10?11?21?6?10?117? 2
解:?cos2xcos2xdx??dx1?sinxcosx11?sin2x2
二、解答下列各题
(本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题5分)
d(1sin2x?1)2??1?1sin2x2 1?ln1?sin2x?c2
某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.
设晒谷场宽为x,则长为L?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x2、(本小题8分)
512 (x?0)x 512L??2?2 唯一驻点 x?16x 1024L???3?0 即x?16为极小值点x
512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省
x2x3求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28
x2x3解: ?,8x2?2x3 x1?0,x1?4.28
244?x4xx32?x62Vx????()?()?dx???(?)dx0028464??
三、解答下列各题
( 本 大 题10分 )
11117??(?x5??x)456470
11512??44(?)??5735
设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根. 证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.
4又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0
则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在?1?(0,1),?2?(1,2),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程,它至多有三个实根,
由上述f?(x)有且仅有三个实根
高等数学（上）试题及答案
大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案
