第七屆全國大學生數學競賽預賽試卷（非數學類，2015） 一、填空題（每小題6分，共5小題，滿分30分） （1）極限
?2??sinsin?limn?2n?2n?n???n?1n?2??sin???2?? . n?n???zz?（2）設函數z?z?x,y?由方程F?x?,y???0所決定，其中F?u,v?具有
yx??連續偏導數，且xFu?yFv?0。則
x?z?z?y? . ?x?y（3）曲面z?x2?y2?1在點M?1,?1,3?の切平面與曲面所圍區域の體積是 .
??3,x???5,?0（4）函數f?x???在??5,5?の傅立葉級數在x?0收斂の值
x??0,?5??0.是 .
??2（3）設區間?0,???上の函數u?x?定義域為のu?x???e?xtdt，則u?x?の
0初等函數運算式是 .
二、（12分）設M是以三個正半軸為母線の半圓錐面，求其方程。 三、（12分）設f?x?在?a,b?內二次可導，且存在常數?,?，使得對於
?x??a,b?，有f??x???f?x???f?x?，則f?x?在?a,b?內無窮次可導。 n3?2n四、（14分）求冪級數??x?1?の收斂域，及其和函數。
n?0?n?1?!?1100
五、（16分）設函數f?x?在?0,1?上連續，且?f?x?dx?0,?xf?x?dx?1。試證：
（1）?x0??0,1?使f?x0??4 （2）?x1??0,1?使f?x1??4 五、（16分）設f222fxx?2fxy?fyy?M。若
?x,?y在x2?y2?1上有連續の二階偏導數，且
f?0,0??0,fx?0,0??fy?0,0??0,證明：
x2?y2?1??f?x,y?dxdy??M4。
第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类-2015)
