2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题
一、选择题（本大题共8小题，共24分）
1. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，
T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(????的长)可以表示为( )
A. 200??????70°米
B. ??????70°米
200
C. 200sin 70°米
D. ??????70°米
200
2. 二次函数??=????2+????+??(??≠0)的顶点坐标为(?1,??)，其部分图象如图所示．以下结论错误的是( )
A. ??????>0 B. 4???????2<0 C. 3??+??>0
D. 关于x的方程????2+????+??=??+1无实数根
3. 如图，矩形纸片ABCD中，????=6，????=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为
EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点??.给出以下结论： ①????⊥????； ②????=????；
③△??????和△??????的面积相等； ④当点F与点C重合时，∠??????=75°， 其中正确的结论共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列图中所有小正方形都是全等的．图(1)是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图(2)是一张由6个小
正方形组成的3×2方格纸片．
把“L”形纸片放置在图(2)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图(3)中的4种不同放置方法．图(4)是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图(4)中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是( )
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A. 160 B. 128 C. 80 D. 48
5. 如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点??.若????=5，????=3，则AO
的长为( )
A. √5
B. 2√5
3
C. 2√5 D. 4√5
6. 将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注
水，如图所示，则小水杯水面的高度?(????)与注水时间??(??????)的函数图象大致为图中的( )
A.
B.
C.
D.
7. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线??=??2?2???3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连
接AB，将????△??????向右上方平移，得到????△??′??′??′，且点??′，??′落在抛物线的对称轴上，点??′落在抛物线上，则直线??′??′的表达式为( )
A. ??=??
B. ??=??+1
C. ??=??+2
1
D. ??=??+2
8. 已知??1(??1,??1)，??2(??2,??2)是抛物线??=????2?2????上的点，下列命题正确的是( )
A. 若|??1?1|>|??2?1|，则??1>??2 C. 若|??1?1|=|??2?1|，则??1=??2
B. 若|??1?1|>|??2?1|，则??1
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二、填空题（本大题共8小题，共24分） 9. 如图，在△??????中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E． ②分别以点D、E为圆心，大于2????的同样长为半径作弧，两弧交于点F． ③作射线BF交AC于点G．
如果????=8，????=12，△??????的面积为18，则△??????的面积为______．
10. 如图，在?ABCD中，∠??=60°，????=10，????=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使
得????=4????，以EC、EF为邻边构造?EFGC，连接EG，则EG的最小值为______．
1
1
11. 抛物线??=????2+????+??(??,b，c为常数，??<0)经过??(2,0)，??(?4,0)两点，下列四个结论：
①一元二次方程????2+????+??=0的根为??1=2，??2=?4； ②若点??(?5,??1)，??(??,??2)在该抛物线上，则??1
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程????2+????+??=??(??为常数，??>0)的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是______(填写序号)．
12. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，????=1，????=2.设AM的长为t，用
含有t的式子表示四边形CDEF的面积是______．
第12题图 第13题图
13. 如图，在△??????中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，??.已知∠??????=
?的长为??，则图中阴影部分的面积为______． 120°，????+????=16，????
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14. 矩形纸片ABCD，长????=8????，宽????=4????，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点??′
处，展平后得到折痕BE，同时得到线段????′，????′，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为______厘米．
第14题图 第15题图
15. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠??????=______度． 16. 设A，B，C，D是反比例函数??=??图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD不可能是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形． 其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号) 三、计算题（本大题共1小题，共6分）
17. 某公司生产A型活动板房成本是每个425元．图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，
长方形的长????=4??，宽????=3??，抛物线的最高点E到BC的距离为4m．
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用??=????2+??(??≠0)表示．求该抛物线的函数表达式； (2)现将A型活动板房改造为B型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/??2.已知????=2??，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本) (3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价??(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润??(元)最大？最大利润是多少？
??
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四、解答题（本大题共12小题，共46分）
18. 如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单 商品 甲 进价(元/件) 数量(件) 总金额(元) 7200 3200 乙 商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
19. 阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足3?????=5①，2??+3??=7②，求???4??和7??+5??的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①?②可得???4??=?2，由①+②×2可得7??+5??=19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：
2??+??=7,
(1)已知二元一次方程组{则?????=______，??+??=______；
??+2??=8,
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x、y，定义新运算：?????=????+????+??，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3?5=15，4?7=28，那么1?1=______．
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2019年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
