新人教版高中数学必修1第一章《集合与函数》全章优秀教案
1.2.2函数的表示法（2）（教学设计）
教学目的：
（1） 了解映射的概念及表示方法。
（2） 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数
和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识。
教学重点：映射的概念 教学难点：映射概念的理解 教学过程： 二、 复习回顾，新课引入 1、 函数的常用表示法 2、 分段函数
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集； （3）分段函数的求解策略：分段函数分段解。
3、复习初中常见的对应关系
（1）对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应。
（2）对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序数对(x,y)和它对应。 （3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应。 （4）班级的座位都有唯一的同学与之对应。 4、函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A?B为从集合A到集合B的函数。
二、师生互动，新课讲解：
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”．当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念．
例如，欧洲的国家构成集合A，欧洲各国的首都构成集合B，对应关系f：国家a对应它的首都b．
这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应．我们将对应f:A?B称为映射．
一般地，我们有：
映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射(mapping),记作
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f:A?B．
练习 判断下列对应是不是从A到B的映射？ 开平方3 9-3 1AAB1-1
-24 2
图甲求绝对值
33 -3-11 A1BA-102
2-2
图丙
求平方3-31-12-2914B图乙一种对应3-31-12-2pqrB图丁解：图甲不是映射，因为集合A中的一个元素对应了集合B中的两个元素； 图乙是映射，符合映射的定义；
图丙是映射，虽然，集合B中有的元素没有A中的元素与之对应，但仍符合映射的定义；
图丁不是映射，因为集合A中的每一个元素都要对应集合B中的元素，但是A中的元素?1,?2没有对应B中的元素．
说明：
①函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射
②这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
③“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。 例1（课本P22例7）以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
（1）集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应。
（2）集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x?R,y?R},对应关系f：平面直角坐标素中的点与它的坐标对应。
（3）集合A={x|x是三角形}，集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A={x|x是新华中学的班级}，集合B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生。
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解：（略）
变式训练1：
（1）A?R，B?{y|y?0}，f:x?y?|x|；
（2）A?{x|x?2,x?N}，B??y|y?0,y?N?，f:x?y?x?2x?2；
*2（3）A?{x|x?0}，B?{y|y?R}，f:x?y??x． 上述三个对应（2） 是A到B的映射．
例2：判断下列对应是否是从集合A到集合B的映射： (1)A=R,B={x|x>0}，f:x→|x|； (2)A=N,B=N*f:x→|x-2|；
2
(3)A={x|x>0},B=R，f:x→x.
[分析] (1)0∈A，在法则f下，0→|0|=0?B，故该对应不是从集合A到集合B的映射； (2)2∈A，在法则f下，2→|2-2|=0?B，故该对应不是从集合A到集合B的映射； (3)对于任意x∈A，依法则f:x→x2∈B，故该对应是从集合A到集合B的映射.
变式训练2：设集合M?{x0?x?2}，N?{y0?y?2}，从M到N有四种对应如图y y 所示：y y 2 2 2
2
O O O 1 2 x 1 2 x 1 2 x
O 1 2 x ① ② ③
④
其中能表示为M到N的函数关系的有_____②③____． 课堂练习：（课本P23练习NO：4）
例3.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出y y?f(x)的函数解析式．
4
3
2
1
O 10 20 30 40 50 60 x 例3
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
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解：当x?[0,30]时，直线方程为y?11x，当x?[40,60]时，直线方程为y?x?2， 1510?1?15xx?[0,30],??f(x)??2x?(30,40),
?1x?[40,60].?x?2?10点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
1 (x?-1)
2
变式训练3：(tb0108401)画出函数y= x (-1 三、 课堂小结，巩固反思 （1）理解映射的概念； （2）映射与函数的区别与联系。 四、 布置作业： A组： 1(x+1) (x?1) 2?x?2(x??1)?21.已知f(x)??x(?1?x?2)，若f(x)?3，则x的值是（ D ） ?2x(x?2)?A. 1 B. 1或 33 C. 1，或?3 D. 3 222.在映射f:A?B中，A?B?{(x,y)|x,y?R}，且f:(x,y)?(x?y,x?y)，则与A中的元素(?1,2)对应的B中的元素为（ A ） A.(?3,1) B.(1,3) C.(?1,?3) D.(3,1) 3.下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ） A.y?1,y?x B.y?xx?1?x?1,y?x2?1 C.y?x,y?3x3 D.y?|x|,y?(x)2 4.下列图象中不能作为函数图象的是（ B ） 5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元 第39页 共52页 39 新人教版高中数学必修1第一章《集合与函数》全章优秀教案 素2n＋n，则在映射f下，B中的20对应在A的是( C ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.函数y?(x?1)0x?x的定义域是_____________________ （答：???,0?） 7、（课本P24习题1.2A组NO：3） B组： 1. 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框 架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y=f (x)，并写出它的定义域. 第40页 共52页 40
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