知识点练习-数学归纳
一、填空题
1. 用数学归纳法证明：
2??+1
1+??+??+?+??=
+2
1-????
1-??
?
（??≠1，??∈??），在验证??=1成
立时，左边计算所得的项是．
2. 用数学归纳法证明等号左边为
．
2+2+2+2
4710
+?+2
3??+10
=
27
8
??+4
?
-1（??∈??）．当??=1时，
3. 用数学归纳法证明等式左边应在
\+2+3+?+??=
2222
1
????+16
．
2??+1??∈?? \，当??=??+1时，
?
??=??时的等式左边添加的项是
4. 用数学归纳法证明“当??为正奇数时，??+??能被??+??整除”，当第二步假设
??=
，命题亦真．
????
??=2??-
?
1??∈??命题为真时，进而证明
5. 平面上原有??个圆，它们相交所成圆弧共有两个交点，且此圆不过前
??个圆的交点，则前
????段，则增加第??个圆的圆弧增加
??+1个圆与前??个圆均有
段．
6. 凸??多边形有????条对角线．则凸关系式为
．
??+1边形的对角线的条数????+1与????的递推
7. 用数学归纳法证明
122
+
132
+?+
1??+12
>
12
-
1??+2
时，假设??=??时结论成立，则当??=??+
1时，应推证的目标不等式是．
8. 已知????=
1
+??
1??+1
+
1??+2
+?+
1
2??
?
??∈??，则????中共有
项．
9. 用数学归纳法证明“对于足够大的自然数
．
??，总有2>??”时，验证第一步不等式成立所取
??2
的第一个值??0最小应当是
10. 用数学归纳法证明??=
??-??“当??为正偶数时，??能被??+??整除”时，第一步应验证
??
时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成．
11. 圆内有??条两两相交的弦将圆最多分为可猜想???? = ．
????个区域，通过计算??1，??2，??3，??4
12. 用数学归纳法证明3
4??+1+2
3
4??+2
+1?
+52????∈??能被14整除时，当??=??+1时，对于
+5
2??+1+1
应变形为．
13. 用数学归纳法证明“ ??+1??+2?
??
-1”（??∈????+??=2?1?2???2??+）时，从
“ ??=??到??=??+1”时，左边应增添的式子是．
14. 用数学归纳法证明??+1??+2???+??=2?1?3???2??-1，??∈??时，从
．
???
“ ??=??到??=??+1”左边需要乘的代数式是
15. 用数学归纳法在证明52
??+1+1
3
4??+2
+5
2??+1
能被14整除的过程中，当??=??+1时，3
4??+1+2
+
应变形为．
16. 楼梯共有??级，每步只能跨上????-1，????-2的关系为
1级或2级，走完??级楼梯共有
．
????种不同方法，则????，
17. 设数列????+1=
????满足????=
．
?222
（??∈??），??，则??+??+?+????=????-??+1??+22??+14??-3
1
18. 用数学归纳法证明：
1+2+2+?+2
2??-1
=2-1??∈??的过程如下：
???
①当??=1时，左边=20=1，右边=21-1=1，不等式成立；②假设??=??时，等式成立，即
1+2+22+?+2??-1=2??-1．
+1
1-2??
则当??=??+1时，1+2+22+?+2??-1+2??=所以??=??+1时等式成立．由此可知对任意正整数以上证明错在何处？
??，等式都成立．
．
1-2
+1
=2??-1，
19. 下面三个判断中，正确的是．
2???
①????=1+??+??+?+????∈??，当??=1时，????=1；
②????=1+③????=
1??+1
12
+
131
+?++?+
12??+113??+1
??∈??，当??=1时，????=1+??∈??，则????+1=????+
?
1
?
12
++
13
；
1
+
??+23??+23??+3
+
13??+4
．
20. 圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成这3条弦可将圆面划分成成8部分．则圆周上
4部分；圆周上
2部分；圆周上3个点可连成3条弦，
4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分
部分．
?????4个点连成的弦最多可将圆面划分成
二、解答题
21. 求证：二项式
2??2??
∈????-????+,??∈??+,??∈??+
能被??+??整除．
22. 用数学归纳法证明：1+2+3+?+??=
????+1
2
?
，其中??∈??．
23. 用数学归纳法证明：1-
12
+
13
-
14
+?+
-2??-1
1
=2??
11??+1
+
1??+2
+?+
12??
??∈??．
?
24. 用数学归纳法证明：当??是不小于5的自然数时，总有2
??
2
>??成立．
25. 用数学归纳法证明，对于
??∈??+，都有
+1×２
1
+2×３
1
+?+3×４
11????+1
=
????+1
．
26. 已知????=1+
12
+
13
+?+
1??
??>1,??∈??，求证：??2>1+
??
?
??2
?
???2,??∈??．
27. 已知数列
1
1×３
，
1
3×５
，
1
5×７
，?，
1
2??-12??+1
，?，计算??1，??2，??3，根据计算结果，猜想????
的表达式，并用数学归纳法给出证明．
28. 求证：1+
11+2
+
11+2+3
+?+
1
1+2+3+?+??
=
2????+1
??∈??+．
29. 用数学归纳法证明：1+
12
+
13
+?+
1
?
<2????∈??．??
30. 用数学归纳法证明：三个连续正整数的立方和能被9整除．
31. 在各项为正的数列 (1)求??1，??2，??3； (2)由（1）猜想数列
????中，数列的前??项和????满足????=
12
????+
1????
．
????的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
32. 如果不要奠基步骤，我们就可以证明??+1
2
+??+2
2
（??∈??+）一定是偶数．
33. 已知0
1的自然数??，??2-1 ??-
??
??
1
????
>??．
34. 平面内有??个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这
2面分成??-??+2个部分．
??个圆将平
35. 用数学归纳法证明：
3
??+5????∈??+能被6整除．
36. 一种计算装置，有一个数据入口口输入自然数
1时，从??口得到
??和一个运算出口
13
??，按照某种运算程序：①当从
13
??
，记为??1=
；②当从的
??口输入自然数
倍．
?????2
时，在??口得到的结果????是前一个结果????-1
2??-1-12??-1+3
(1)当从??口分别输入自然数关系式，并证明你的结论； (2)记????为数列应的????的值．
????
2，3，4时，从??口分别得到什么数？试猜想????的
的前??项的和．当从??口得到16112195的倒数时，求此时对
37. 用数学归纳法证明：对于一切正整数??，7
2??
-42??-33能被264整除．
38. 是否存在常数
4
2
22222222
??，??，??使等式1??-1+2??-2+3??-3+?+????-??=
????+????+??对一切正整数??都成立？并证明你的结论．
39. 是否存在常数
??，??，??使得1?2+2?3+3?4+?+????+1
2222
=
????+112
2
?????+????+
??对一切??∈??+都成立？证明你的结论．
40. 已知△??????的三边长为有理数．
(1)求证：cos??是有理数； (2)求证：对任意正整数
??，cos????是有理数．
答案编制：高中数学
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第一部分
1 1+??+??
2
2 2+24+27+210+2
13
3 ??+1
2
4 2??+1??∈???
5 2??
6 ????+1=????7 11+??-1
2
-??+2
+11??+2
2>
2
-1
??+3
8 ??2
-??
+19 5
10 2；??2??-??2??1
能被??+??整除（??∈???
）11 ??2
2+??+2
12 8134??+2
+52??+1
-56?5
2??+1
13 22??+114 22??+1
15 2534??+2+52??+1+56?34??+2
16 ????=????-1+????-217 1
14??+1
-8??+5
-
1
8??+9
18 没有用上归纳假设19 ②
20 C??4+C2
??+1
第二部分
21 （1）当??=1时，??2
-??2
=??+????-??，所以能被??+??整除．
（2）假设??=??时，??2??-??2??
能被??+??那么??=??+1时，即??2??+2-??2??+2=??2整除．
???2??-??2??2??+??2??2??-??2???2??=??2??2??-??2????2-??2．
因为??2??-??2??与??2-??2
都能被??+??整除，
所以??2??2??-??2??+??2????2-??2
能被??+??整除．
即??=??+1时，??2??+2-??2??+2
能被??+??整除．
由（1）（2）可知，二项式??2??-??2????∈??+,??∈??+,??∈??+能被??+??整除．22 （i）当??=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（ii）假设当??=??时，等式成立，即
1+2+3+?+??=????+1
2
,
那么
2??
+??
高中数学考点精练-数学归纳
