江苏省如皋中学2018—2019学年度第二学期高三数学三模模拟试卷
第I卷（必做题 共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。 1.已知集合A??3,9?，B??a,???．若A?B，则实数a的取值范围是 ．???,3? 2. 设复数z满足z＋i＝3－i，则z＝_______3＋2i
3. 已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，
4
则至少有2个白球的概率为_________ 5
4. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为_______20 5. 在△ABC中，若(a﹣b)(sinA＋sinB)＝(c﹣b)sinC，a＝3，则b2＋c2的取值范围是_____ (5，6] 6. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体
的体积为______82 7. 设S?1?111111??1???1??2?22222122334?1?11，则不大于S的?2220142015最大整数[S]是__． 2014
ax3?x?a,x?a8. 已知函数f(x)?{3，若对于任意的实数a，总存在x0，使得f(x0)?0，则x0ax?x?a,x?a的取值范围是____[?1,0)?(0,1]
9.已知函数f(x)?x?3|x?a|(a?R),x?[?2,2]，若函数y?f(x)的最大值为11，则实数a的取值为____1,3
x10.函数 函数g(x)?lo2则g,方程f(x)?g(x)的实根个数
3是 ． 3
11.已知圆O1,O2均与x相切，且两圆心与原点共线，两圆心的横坐标之积为8.则两圆交点到直线abc12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则cosAcosBcosC2cos A3cos B6cos C
1
＝ .
1013. 在平面直角坐标系xOy中已知圆C满足：圆心在x轴上，且与圆x2?(y?2)2?1相外切.设圆C与x轴的交点为M,N，若圆心C在x轴上运动时，在y轴正半轴上总存在定点P，使得?MPN为定值，则点P的纵坐标为 ．3 ．．．
14.已知正实数x,y满足x?y?2x?y?0，若存在正实数x,y使得
332x?y?10?0距离的最小值为_______25?22 12x?ay2?1成立，则实数2a的最小值为__1
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分14分）如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C?平面ABCD,且AB?BC?CA?3,AD?CD?1. （1）求证：BD?AA1;
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE//平面DCC1D1.
解：⑴在四边形ABCD中，因为BA?BC，DA?DC，所以BD?AC，
又平面AAC11C?平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCD?AC，
A1 B1 D1
C1
D BD?平面ABCD，所以BD?平面AA1C1C，
又因为AA1?平面AA1C1C，所以BD?AA1．
⑵在三角形ABC中，因为AB?AC，且E为BC中点，所以AE?BC， 又因为在四边形ABCD中，AB?BC?CA?3，DA?DC?1， 所以?ACB?60?，?ACD?30?，所以DC?BC，所以AE因为DC?平面DCC1D1，AE?平面DCC1D1，所以AEA 第15题
C
E B
DC，
平面DCC1D1．
sinA?3cosA共线，其中A是△ABC16. （本小题满分14分）已知向量m?sinA，1与n?3，2????的内角．
（1）求角A的大小； （2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.
（1）因为m//n,所以sinA?(sinA?3cosA)?3?0. ……………2分
2所以1?cos2A?3sin2A?3?0，即3sin2A?1cos2A?1，即sin2A?π?1. …4分
222226??11π. …5分故2A?π?π，A?π.……7分 因为A?(0,π) , 所以2A?π??π，623666（2）由余弦定理，得 4?b2?c2?bc.…8分 又S?ABC?1bcsinA?3bc，…9分 24 而b2?c2≥2bc?bc?4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b?c时等号成立） ……11分
所以S?ABC?1bcsinA?3bc≤3?4?3. ……12分
244当△ABC的面积取最大值时，b?c.又A?π，故此时△ABC为等边三角形. …14分
3
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