一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．
（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同） 【答案】详见解析 【解析】
试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；
（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．
试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得： 10（1+x）2=14.4，
解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2， 答：年平均增长率为20%；
（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得： 2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y， ∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464， ∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆． 考点：一元二次方程—增长率的问题
2．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值． 【答案】（1）k?【解析】
试题分析：（1）方程有两个实数根，可得??b2?4ac?0，代入可解出k的取值范围； （2）由韦达定理可知，x1?x2?2?k?1?,x1x2?k，列出等式，可得出k的值．
21；（2）k?3 2试题解析：(1)∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤(2)∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
1； 2∴k1＝1，k2＝－3. ∵k≤
1，∴k＝－3. 222
3．已知关于x的方程4x2?8nx?3n?2和x??n?3?x?2n?2?0，是否存在这样的
n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n，要注意n的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x1+x2=2n，x1x2=?由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，
3n?2，所以(x1-x2)2=4n2+3n+2， 413，但1-n=不是整数，舍.
221②若4n2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-(舍)，
4综上所述，n=0.
4． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;
①若4n2+3n+2=-n+1，解得n=-或
( x≥m) ；
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根． （1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解． 【答案】（1）a≤【解析】
【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；
（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得. 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤
17；（2）x=1或x=2 417； 417， 4∴a的最大整数值为4， 此时方程为x2﹣3x+2=0， 解得x=1或x=2．
（2）由（1）可知a≤
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
6．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。 （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。
【答案】（1）见详解；（2）4＋10或4＋22. 【解析】 【分析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论. （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算. 【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0. ∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根. （2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2， 则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为10，该直角三角形的周长为1＋3＋10=4＋10.
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；则该直角三角形的周长为1＋3＋22=4＋22.
7．已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k的值；
(2)求证：不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0， 1﹣k﹣3+3k＝0 解得k＝1； (2)证明：
a?1,b??(k?3),c?3k ??b2?4ac
? △＝(k+3)2﹣4?3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.
8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【解析】 【分析】
设每件商品涨价x元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50?x)元，销售量为
(500?10x)件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可
列方程求解 【详解】
解：设每件商品涨价x元，则销售单价为(50?x)元，销售量为(500?10x)件． 根据题意，得(500?10x)[(50?x)?40]?8000． 解得x1?10，x2?30．
经检验，x1?10，x2?30都符合题意． 当x?10时，50?x?60，500?10x?400； 当x?30时，50?x?80，500?10x?200．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解
9．解方程：x2－2x＝2x＋1.
【答案】x1＝2－5 ，x2＝2＋5. 【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
?b?b2?4ac求根公式x?求解即可.
2a试题解析：方程化为x2－4x－1＝0. ∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－1)＝20， ∴x＝4?20＝2±5 ， 2∴x1＝2－5 ，x2＝2＋5.
10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加求出m的值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16． 【解析】
试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可； （2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+150（x﹣20）=2250， 解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+150+m﹣
m﹣150×m%﹣m%×m2=12，
m=162，
m）=5670，
m），列出方程求解即可．
m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
60m﹣3m2=192， m2﹣20m+64=0， m1=4，m2=16， ∵要使销售量尽可能大，
中考数学专题训练---一元二次方程的综合题分类附答案
