中考数学 二次函数知识点
【一】二次函数概念：
1. 二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （ a ,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次 函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 义域是全体实数.
2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次式，x的最高次数是2. ⑵a ,b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 【二】二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：y ax2的性质: a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 0,而b,c可以为零.二次函数的定
开口方 a的符号 顶点坐 标 对称 性质 轴 x 0时，y随x的增大而增大；x 0时， y随向 a 0 向上 0，0 y轴 x的增大而减小；x 0时，y有最小 值0 . x 0时，y随x的增大而减小；x 0时， y随a 0 向下 0，0 y轴 x的增大而增大；x 0时，y有最大 值0 . 2. y ax2 c的性质： 上加下减。 开口方 a的符号 顶点坐 标 对称 性质 轴 向 第1页共4页
x 0时，y随x的增大而增大；x 0时， y随a 0 向上 0, c y轴 x的增大而减小；x 0时，y有最小 值c . x 0时，y随x的增大而减小；x 0时， y随a 0 向下 0, c y轴 x的增大而增大；x 0时，y有最大 2
值c . y a x h的性质:
3.
左加右减。
开口方 a的符号 顶点坐 标 对称 性质 轴 x h时，y随x的增大而增大；x h时， 向 a 0 向上 h, 0 X=h y随x的增大而减小；x h时，y有最小 值0 . x h时，y随x的增大而减小；x h时， a 0 向下 h, 0 X=h y随x的增大而增大；x h时，y有最大 值0 .
2
4. y ax h k的性质:
开口方 a的符号 顶点坐 标 对称 性质 轴 x h时，y随x的增大而增大；x h时， 向 a 0 向上 h，k X=h y随x的增大而减小；x h时，y有最小 值k . a 0
向下 h，k X=h x h时，y随x的增大而减小；x h时， 第2页共4页
y随x的增大而增大；x h时，y有最大 值k .
【二】二次函数y ax h彳k与y ax2 bx c的比较
从解析式上看，y a x h2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可
2 2 2
以得到前者，即y a x P
^A，其中h A，k 4a^A . 2a 4a
4a
2a 4a
【四】二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y ax2 bx c （ a , b , c 为常数，a 0）; 2. 顶点式：y a（x h）2 k （ a , h , k为常数，a 0）;
3. 两根式：y a（x x\（x血）（a 0， Xi，X2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点
式，只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点 式表示?二次函数解析式的这三种形式可以互化 【五】二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法?用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便?一般来说，有如下几种情 况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 【六】二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x轴交点情况）： 一兀二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
.
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①当 b2 4ac 0时，图象与x轴交于两点A xi ,0 , B X2, 0 (xi x?),其中的为,他是一元 4ac
次方程ax2 bx c 0 a 0的两根.这两点间的距离 AB X2 xi
② 当 0时，图象与x轴只有一个交点; ③ 当 0时，图象与x轴没有交点.
1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ; 2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .
2.抛物线y ax2 bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0， c); 3.二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y ax2 bx c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b， c的符号判
断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已
知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的
二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联 系：
0 抛物线与x轴有 两个交点 抛物线与x轴只 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值为非 负 二次三项式的值恒为 正 一元二次方程无实数根? 0 有一个交点 抛物线与x轴无 0 交占 八、、 第4页共4页
中考数学-二次函数知识点总结
