2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学 （文史类）
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至11页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共10小题，每小题5分，共50分。 参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么 ·棱柱的体积公式V=Sh. P（AUB）=P（A）+P（B）. 其中S表示棱柱的底面积. H表示棱柱的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i是虚数单位，复数
3?i= 1?i（A）1+2i (B)2+4i (c)-1-2i (D)2-i
?x?y?3,?(2)设变量x，y满足约束条件?x?y??1,则目标函数z?4x?2y?y?1,?的最大值为
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）3 （4）函数f(x)?e?x?2的零点所在的一个区间是 （A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）(0,1) (D)(1,2)
（5）下列命题中，真命题是
（A）?m?R，使函数f(x)?x?mx(x?R)是偶函数 （B）?m?R，使函数f(x)?x?mx(x?R)是奇函数 （C）?m?R，函数f(x)?x?mx(x?R)都是偶函数 （D）?m?R，函数f(x)?x?mx(x?R)都是奇函数 （6）设a?log54，b??log53?，c?log45则
22222x（A）a (7) 设集合A?x|x?a?1,x?R,B??x|1?x?5,x?R?，若A?B=?，则实数a的取值范围是 （A）?a|0?a?6? （B）?a|a?2,或a?4? （C）?a|a?0,或a?6? （D）?a|2?a?4? （8）右图是函数y?Asin(?x??)(x?R)在区间??????5??,?上的?66?图象．为了得到这个函数的图像，只要将y?sinx?x?R?的图象上所有的点 （A）向左平移来的 ?个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原31倍，纵坐标不变 2? （B）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 31? （C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 26? （D）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍， 6纵坐标不变 uuuruuuruuuuuuruuurr（9）如图，在△ABC中，AD?AB，BC?3BD,AD?1，则AC?AD? (A) 23 （B）33 (C) (D) 3 232 (10) 设函数g(x)?x?2(x?R)，f(x)??的值域是 （A）???g(x)?x?4,x?g(x),则f(x) g(x)?x,x?g(x).??9?,0?U(1,??) （B）?0,??? ?4??9??9?,??? （D）??,0?U(2,??) ?4??4? （C）?? 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。 （11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3, 则 BC的值为 . AD 12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . x2y2（13）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线 ab2方程是y?3x，它的一个焦点与抛物线y?16x的焦点相同，则双曲线的方程为 . （14）已知圆C的圆心是直线x?y?1?0与x轴的交点， 且圆C与直线x?y?3?0相切.则圆C的方程为 . （15）设?an?是等比数列，公比q?2，Sn为?an?的前 n项和，记Tn?17Sn?S2n?，n?N.设Tn0为数列?Tn?的最大项,则 an?1no= . (16)设函数f(x)?x?1,对任意x??1,???,f(mx)?mf(x)?0恒成立,则实数m的取值x范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分) 在△ABC中， ACcosB. ?ABcosC(Ⅰ)证明B?C； (Ⅱ)若cosA????1?，求sin?4B??的值. 3?3?(18)(本小题满分12分) 有编号为A1,A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据： 编号 直径 A1 1.51 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； (Ⅱ)从一等品零件中，随机抽取2个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果； (ii)求这2个零件直径相等的概率. (19)(本小题满分12分) 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形， FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD?22， ∠BAD=∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线CE与AF所成角的余弦值； (Ⅱ)证明CD⊥平面ABF； (Ⅲ)求二面角B?EF?A的正切值. (20)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?ax?332x?1(x?R),其中a＞0. 2(Ⅰ)若a=1，求曲线y?f?x?在点(2，f?2?)处的切线方程； (Ⅱ)若在区间???11?,?上，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围. 22??（21）（本小题满分14分） 已知椭圆 x2y23??1(a>b>0)的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2a2b2为4. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(?a,0). （i） 若AB?42，求直线l的倾斜角； 5（ii） uuuruuur若点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线上，且QA?QB?4.求y0的值. （22）（本小题满分14分） 在数列?an2k. (Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列； (Ⅱ)求数列?an?中，a1?0，且对任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为 ?的通项公式； 32232n2(Ⅲ)记Tn???……+，证明?2n?Tn?2(n?2). 2a2a3an2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 （文史类）参考解答 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）A （2）B （3）B （4）C （5）A （6）D （7）C （8）A （9）D （10）D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． x2y21??1 （11） （12）3 （13） 4123（14）(x?1)?y?2 （15）4 （16）(??,?1) 三．解答题 （17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． 22 又0?2B??，于是sin2B?1?cos2B?222． 3从而sin4B?2sin2Bcos2B?427,cos4B?cos22B?sin22B??． 99?cos4Bsin所以sin(4B??3)?sin4Bcos?3?3?42?73． 18 （18）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)?63?． 105（Ⅱ）（i）解：一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6．从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,A4?,?A1,A5?,?A1,A6?,
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(天卷)精校版
